《垂径定理》
◆ 模式介绍
“探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构．探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用．
探究式教学通常包括以下五个教学环节：
创设情境——启发思考——探究问题——形成结论——巩固提高
◆ 设计说明
首先通过问题1由学生亲自动手操作得出“圆是轴对称图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题2通过赵州桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引发学生进一步探究的欲望．问题3让学生回顾圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心的直线，问题4显现垂径定理的条件，为即将探索与证明垂径定理作准备．问题5和问题6探索并证明了垂径定理及其推论．最后通过例、习题的巩固，突出了垂径定理及其推论的应用．
◆ 教材分析
本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第3节《垂径定理》的教学内容，本节课是在学生学习了圆的相关概念和圆的对称性的基础上进行的，本节内容是根据圆的轴对称性研究了垂径定理及其有关的结论．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段或角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为有关圆的一些计算和作图问题提供了方法和依据．
对于垂径定理的学习，要帮助学生分析定理的条件和结论，加深学生对定理的理解．垂径定理相关推论的学习，可以按条件画出图形，让学生通过观察、思考、亲自得出结论．
◆ 教学目标
【知识与能力目标】
1、探索并证明垂径定理及其逆定理．
2、能够运用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及作图问题． 【过程与方法】
经历探索垂径定理及其逆定理的过程，发展推理能力． 【情感态度与价值观】
历探索垂径定理及其逆定理的过程，让学生领会数学的严谨性，并体验发现的乐趣．
◆ 教学重难点
【教学重点】
垂径定理及其逆定理的证明． 【教学难点】
利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
◆ 课前准备
多媒体课件、教具等．
◆ 教学过程
【创设情境】
问题1 请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，你会发现什么？多折几次试一试．
追问1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？
追问2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？
问题2 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
设计意图：问题1由学生亲自动手操作得出“圆是轴对称图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题2通过赵州桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引发学生进一步探究的欲望．
【启发思考】
问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分别是什么？
结论：⑴圆是轴对称图形；
⑵经过圆心的每条直线（注：提醒学生说不能说直径）都是它的对称轴； ⑶圆的对称轴有无数条．
问题4 如图，对折⊙O使圆的两半部分重合得到一条折痕CD，在OC上取一点M，过点M再次对折⊙O，使CM与MD重合，新的折痕与⊙O交于A、B两点．
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由．
设计意图：问题3让学生回顾圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心的直线，问题4显现垂径定理的条件，为即将探索与证明垂径定理作准备．
【探究问题】
问题5 已知：如图 ，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足
M．
?，??． AC?BC求证：AM=BM，?AD?BD证明：连接OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△AOB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AM和? 重合．?，?? 、BC?．AC分别和BDAC?BCBM重合，? ?因此，AM=BM，? AD 、AD?BD追问：你还有其他方法证明这个结论吗？ 说明：可以用全等三角形知识来证明．
问题6 如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由． （3）AB与CD的位置关系如何？说一说你的理由． ?，??． 理由如下： AC?BC解：CD?AB，?AD?BD
连接OA、OB，则OA=OB．又∵AM=BM，∴△AOM≌△BOM，∴∠AMO=∠BMO=90°，∴CD?AB，∴直线CD是等腰△AOB的对称轴，而CD又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD? 重合．因此，? 、BCAC分别和BD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，?AD 、 ??，??． AC?BCAD?BDCD?AB，?【形成结论】
你能文字语言叙述问题5和问题6中的结论吗？
问题5的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 问题6的结论（垂径定理的推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
追问：如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？ 类似还有如下结论：
（1）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦； （2）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧． 【巩固提高】
?，点O是CD?的圆心)，其中例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD?上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径． CD=600m，E为CD
解：连接OC．
设弯路的半径为Rm，则OF=（R－90）m． ∵OE⊥CD， ∴CF?11CD??600?300（m）． 222在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2?CF2?OF2，即R2??R?90??3002． 解这个方程得R＝545． 所以，这段弯道的半径是545m．
追问：现在能解决课前提出的赵州桥问题了吗？ 解： 如图，由题意可知，AB=37m，CD=7.23m，所以AD=
1AB＝18.5m，2OD?OC?CD?R?7.23．
在Rt△OAD中，由勾股定理，得AO2?OD2?AD2，即R2?18.52??R?723?，解得
2R?27.3（m）．
因此，赵州桥的主桥拱半径为27.3m． 学生练习1 课本76页随堂练习第2题．
学生练习2 如图，已知?AB，请你利用尺规作图的方法作出?AB的中点，说出你的作法．
九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理教案(新版)北师大版
