《1.1》同步练习
基础巩固强化 一、选择题
1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．56 B．65
5×6×5×4×3×2C. 2D．6×5×4×3×2 [答案] A
[解析] 本题主要考排列组合知识．
1名同学有5种选择，则6名同学共有56种选择．
2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有( )种
A．25 C．35 [答案] C
3．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方案有( ) A．8 C．125 [答案] D
4．(2014·长安一中质检、北京西城模拟)用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 C．261 [答案] B
[解析] 用0，1，…，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
5．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数为( )
A． 18 C．14
B．16 D．10 B．252 D．279 B．15 D．243 B．52 D．53
[答案] C
[解析] 可分为两类．
以集合M中的元素做横坐标，N中的元素做纵坐标，集合M中取一个元素的方法有3处，要使点在第一、第二象限内，则集合N中只能取5、6两个元素中的一个有2种．根据分步计数原理有3×2＝6(个)．
以集合N的元素做横坐标，M的元素做纵坐标，集合N中任取一元素的方法有4种，要使点在第一、第二象限内，则集合M中只能取1、3两个元素中的一个有2种，根据分步计数原理，有4×2＝8(个)．
综合上面两类，利用分类计数原理，共有6＋8＝14(个)．故选C.
6．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有( )
A．510种 C．50种 [答案] A
[解析] 任何一个乘客可以在任一车站下车，且相互独立，所以每一个乘客下车的方法
10
都有5种，由分步计数原理知N＝5.故选A.
B．105种 D．以上都不对
7．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则x·y可表示不同的值的个数是( ) A．1＋1＝2 C．2×3＝6 [答案] D
[解析] 由分步计数原理N＝3×3＝9(种)．故选D. 二、填空题
8．已知a∈{3，4，5}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数为____________个．
[答案] 24
[解析] 确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步计数原理知N＝3×4×2＝24(个)．
9．用数字1，2，3组成三位数．
(1)假如数字可以重复，共可组成____________个三位数； (2)其中数字不重复的三位数共有____________个； (3)其中必须有重复数字的有____________个． [答案] (1)27 (2)6 (3)21
3
[解析] (1)排成数字允许重复的三位数，个位、十位、百位都有3种排法，∴N＝3＝2
B．1＋1＋1＝3 D．3×3＝9
7(个)．
(2)当数字不重复时，百位排法有3种，十位排法有两种，个位只有一种排法，∴N＝3×2×1＝6(个)(也可先排个位或十位)．
(3)当三数必须有重复数字时分成两类：
三个数字相同，有3种，只有两个数字相同，有3×3×2＝18(个)， ∴N＝3＋18＝21(个)． 三、解答题
10．某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同选法？
[解析] 只会唱歌的有10人，只会跳舞的有6人，既会唱歌又会跳舞的有4人．这样就可以分成四类完成：
第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×6＝60(种)； 第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×4＝40(种)；
第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得6×4＝24(种)；
第四类：从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有6种方法．
根据分类加法计数原理，得出会唱歌与会跳舞的各选1人的选法共有60＋40＋24＋6＝130(种).
能力拓展提升 一、选择题
1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数共有( )
A．125 C．100 [答案] C
[解析] 由二次函数的定义知a≠0.∴选a的方法有4种．选b与c的方法都有5种．只有a、b、c都确定后，二次函数才确定．故由乘法原理知共有二次函数4×5×5＝100个．故选C.
2．(2013·福建理，5)满足a、b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 C．12 [答案] B
[解析] ①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根， ∴(a，b)的取值有4个．
B．13 D．10 B．15 D．10
②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1. a＝－1时，b的取值有4个， a＝1时，b的取值有3个， a＝2时，b的取值有2个． ∴(a，b)的取法有9个．
综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个．
3．某电话局的电话号码为168×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有( )
A．20个 C．32个 [答案] C
[解析] 五位数字是由6或8组成的，可分五步完成，每一步都有两种方法，根据分步乘
5
法计数原理，共有2＝32个．
B．25个 D．60个
二、填空题
4．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的积的结果有____________种．
[答案] 5
[解析] 第1个正方体向上的面标有的数字必大于等于4.如果是3，则3与第二个正方体面上标有数字最大者6的积3×6＝18＜20，
4×5＝5×4＝20，4×6＝6×4＝24，5×5＝25， 5×6＝6×5＝30，6×6＝36，
以上积的结果为20，24，25，30，36共五种．
5．(2014·北京理，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
[答案] 36
[解析] 本题考查了计数原理与排列组合知识．
先只考虑A与产品B相邻，此时用捆绑法，将A和B作为一个元素考虑，共有A44＝24种方法，而A和B有2种摆放顺序，故总计24×2＝48种方法，再排除既满足A和B相邻，又满足A
3
与C相邻的情况，此时用捆绑法，将A，B，C作为一个元素考虑，共有A3＝6种方法，而A，
B，C有2种可能的摆放顺序，故总计6×2＝12种方法．
综上，符合题意的摆放共有48－12＝36种． 三、解答题
6．若x，y∈N＋，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
[解析] 按x的取值进行分类，x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对．x
＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对．
……
x＝5时，y＝1共构成1个有序自然数对，根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．
x2y2
7．设椭圆a＋b＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b∈{1，2，3，4，5，6，
7}，求满足上述条件的椭圆的个数．
[解析] 因为椭圆的焦点在y轴上，所以b＞a. 则当a＝1时，b可取2，3，4，5，6，7，有6种取法； 当a＝2时，b可取3，4，5，6，7，有5种取法； 当a＝3时，b可取4，5，6，7，有4种取法； 当a＝4时，b可取5，6，7，有3种取法； 当a＝5时，b可取6，7，有2种取法．
故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆．
8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1，2，3，4；j＝1，2)均为实数．
(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？
(2)能构成多少个以集合A为定义域，以集合B为值域的不同函数？
[解析] (1)因为集合A中的每个元素ai(i＝1，2，3，4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步计数原理，构成A→B的映射有2×2×2×2＝24＝16个．
(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应于同一元素b1或b2的情形构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以，构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有16－2＝14个．
《1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》同步练习2
