4.1 三角形中与比例线段有关的几个定理-梅涅劳斯定理及应用 --沈文选

1 4.1 梅涅劳斯定理及应用

梅涅劳斯定理设A/、B/、C/分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点，若A/、B/、C/ 三点在一条直线上，则

BA/CB/AC/././?1. (4.1-1) /ACBACB 注若采用有向线段，上式右边为-1（下面均同）．

证明 如图4-1，过A作直线AD//CA,交BC的延长线于D，则

//CB/CA/AC/DA/?/,/?/? /BAADCBABBA/CB/AC/BA/CA/DA/故 /././?/././?1.

ACBACBACADAB

梅涅劳斯定理的逆定理设A/、B/、C/分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点且其中仅

一点在延长线上或三点均在延长线上，若

BA/CB/AC/././?1, (4.1-2) /ACBACB则A/、B/、C/三点在一条直线上．

证明 不妨设仅有点A在BC的延长线上，则直线AB与边AB相交，设交点为C1，由梅涅劳斯定理，得到

/

//BA/CB/AC1..?1. A/CB/AC1BBA/CB/AC/由题设，有 /././?1,

ACBACBAC1AC/?? 则

C1BC/BAC1AC/?, 又由合比定理，知 ABAB故有AC1?AC/.从而C1与C/重合，即A/.、B/、C/三点在一条直线上．

梅涅劳斯定理是导出线段比例式的重要途径之一．梅涅劳斯定理的逆定理是证明三点在一条直线上的

2 理论依据之一．

例1 已知D、F分别是△ABC边AB、AC上的点，且AD：DB=CF：FA =2:3，连DF交BC边延长线于E点，那么EF：FD= ． (1990年“祖冲之”杯邀请赛题)

解 填2:1．理由：如图4-2，对△DFA与截线ECB，由梅涅劳斯定理，有

DEFCABDE2..?.. EFCABDEF55DE3EF?1,由此得?,从而?2,即EF：FD =2：1． 3EF2FDBD2AE3AFBF 例2 已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点， ?,?,AD、BE交于F，则.DC3EC4FDFE的值是( )．

375614A. B. C.5 D.

123159（1997年太原市竞赛题）

解 选C理由：如图4-3，对△ADC与截线BFE，由梅涅劳斯定理，有

AFDBCEAF24..?..?1, FDBCEAFD53AF15得 ??

FD8

对△BEC与截线AFD，由梅涅劳斯定理，有

BFEACDBF33..?..?1, FEACDBFE72BF14得 ??

FE9AFBF151435.?.?? 故

FDFE8912例3 如图4-4，在△ABC中，?A?90,点D在AC上，点E在BD上，AE的延长线交BC于F．若BE：ED ＝ 2AC：DC，求证：∠ADB＝∠FDC，

证明 取BC中点M，连结AM交BD于G，对△BCD与截线AEF，由梅涅劳斯定理，有

?BFCADE.???1. FCADLB而

BE2AC?,所以 EDDC 3 BF2ACAD2AD?.?, FCDCACDCBC2AD?DC?? ① FCDC

同理，对△ACM与截线DGB，有

ADCBMG.?.?1, DCBMGA1BC(因?A?90?),得 2AG2ADAG2AD?,?, GMDCAM2AD?DCAGAD?? ② BC2AD?DCAGAD由①、②得 ??

FCDC由AM?BM?又∠MAC=∠ACM，则

△AGD∽△CFD． 故∠ADB＝∠FDC．

例4 已知凸五边形ABCDE满足DC?DE,?DCB??DEA?90,点F是线段AB内一点，并且AF:BF ＝ AE：BC．证明：∠FCE＝∠ADE，∠FEC＝∠BDC． （1997年波兰奥林匹克题） 证明 如图4-5，延长CB、EA交于点O，连DO，过A作AG∥CE交CO于G，交DO于H．

由 DC?DE,?DCB??DEA?90,知Rt△OCD ≌ Rt△OED.从而

CE ⊥OD, AG ⊥ OD,AE = CG, GH = HA.

注意到

??BCGHAFCBAF ..?.?1,由梅涅劳斯定理的逆定理，知C、F、H三点在一条直线上．

CGHAFBAEFB

在△OHC和△OAD中，易知?COH??DOA,又由△OHC ∽ △OAD,

故有 ?OCH??ODA.

OHCO?cos?DOA?cos?COH?,则 OADO