嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题
一、简答题（共70分）
1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（
解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。函数相等。
无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。
6分）
替换函数在原定义域上与替换前的
2、奇点分为几类如何判别
在挖去孤立奇点点及本性奇点。
判别方法：洛朗级数展开法A，先找出函数B，把函数在
f(z)的奇点；的环域作洛朗展开
（6分）
F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则
Zo称为函数F（z）的可去奇点，极
Zo而形成的环域上的解析函数
只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将
1）如果展开式中没有负幂项，则2）如果展开式中有无穷多负幂项，则
为可去奇点；
为本性奇点；
为极点，如果负幂项的最高项为
，则为m阶奇
3）如果展开式中只有有限项负幂项，则点。
3、何谓定解问题的适定性（6分）
1，定解问题有解；题的适定性。
2，其解是唯一的；
3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问
4、什么是解析函数其特征有哪些（在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数.
1）在区域内处处可导且有任意阶导数
2）
6分）
.
ux,yvx,y
C1C2
这两曲线族在区域上正交。
3）ux,y和vx,y都满足二维拉普拉斯方程。
(称为共轭调和函数)
4）在边界上达最大值。
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。
5、写出(x)挑选性的表达式（6分）
fxfxf(r)(r
x
x0dx
f0
fx0
xdx
R0)dvf(R0)
6、写出复数
1i32
的三角形式和指数形式（8分）
12cos3
2
cos
三角形式：
2
isinsin
2
i
32
1i32
cosisin
3
指数形式：由三角形式得：
z
3
i
1
e3
7、求函数解：
z(z1)(z
2)
2
在奇点的留数（8分）
奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2Resf(1)
lim(z1)z1
z(z1)(z
2)
2
1
Resf(2)
limz2
1d1!dz
(z2)
2
z(z1)(z
2)
2
lim
z2
1(z1)
2
1
8、求回路积分
cosz
z1
z
3
dz（8分）
解：f(z)有三阶奇点z=0（在积分路径内）
Resf
lim
z
1d
22
(0)
0
2!dz
z
3
coszz
3
limcosz
z
0
-
12
原积分=2iResf(0)2i(
12
)i
x
9、计算实变函数定积分
24
x
1
dx（8分）1
z
2
解：f(z)
zz
24
11
z
22(1i)
z
22
1z
22(1
i)
z
22(1i)
(1i)
它具有4个单极点：只有z=
22
(1i)和z=
22
(1i)在上半平面，其留数分别为：
Resf
(
22
(1i))
lim
z
z
z
22(1i)
z
2
1(1
i)
z
22(1i)
122i
0
22
Resf
(
22
(1i))
lim
z
z
z
22)
(1i)
z
2
1(1i)
z
22(1i)
122i
0
22
I2i(
122i
122i
2
10、求幂级数
k
1(z1k
1k1k11
i)
k
的收敛半径（8分）
R
limk
akak
1
limklimk
kk
1
1
所以收敛圆为zi
二、计算题（共30分）
1、试用分离变数法求解定解问题（
14分）
uttuxxut
0
auxx
0
2
0
xl
00ut
xl,t0
ux
x1/2,
t0
0
令u(x,t)X(x)T(t)，并代入方程得
XT
''
''
aXT
000
2''
0
移项
X(0)T(t)X(l)T(t)XX(0)X(l)
在
''
T2aT
''
XX
''
X
''
00
和T
''
a
2
T
0
C1e
x
在＜0时，方程的解为：X(x)
0时，方程的解为：X(x)在＞0时，方程的解为：X(x)由边界条件X(0)
'
C2eC2
x
x
C1x
C1cos
0得：
C2sin
x
0，X(l)
'
＜0时，X(x)0时，Xx(C＞0时，X(x)
X(0)X(l)C1
l
把T0(t)Tn(t)
'''
0C1C2C1n
n
2
22
2
22
cos0cos
xC2sin0，C2
x0l0nlx
0得：
lC2sinl
0
（否则方程无解），0sin
l
lB0tnatl
Bnsin
natl
(n
n
0和A0
X(x)
C1cos
a
2
代人T的方程T''
T
Ancos
1，2,3
)
U(x,t)A0B0t
A0
n
nat
(Ancos1l
nlxnlxx
natn
Bnsin)cosx
ll
120
由初始条件得
n1
AncosBn
B0
nal
n1
cos
把右边的函数展成傅里叶余弦级数A0An
1
(xl02l
ll
, 比较两边的系数得
1)dx21
n
B0
1
0dxl0
Bn
2na
l
l
(x
0
)cosxdx2l
2ln
2
2
0cos
0
nl
xdx4l
得：
A0
l2l
1
An
1
(cosn1)
An
0
n
22
(n(n
2k1)2k)
U(x,t)
2
n1
(
4ln
2natn
cosx2)cosll
（6分）
2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）
uuu
x0
0Ay(b
y),u
xa
00
y0
x
Bsin,u
a
yb
令u(x,t)v(x,t)w(x,t)
vxxvyy0
wxx
wyy0vx0
0，v
xa
0w
x0
v
y0
Bsin
x，v
yb
0
w
y0
a
则，v，w都可以分别用分离变量法求解了。
3、求方程
y2y3ye
t
(10分)
解：对方程程两边取拉氏变换，并注意到初始条件，得
p2
fp
12pfp3fp
1p1
解上式这个代数方程，得
fp
p2
p1p1p3fp
113
1
114p
1
8p1
8p
3
yt
1t
4
e
38
e
t
13t
8
e
Ay(by)，w
xa
0，w
yb
0
满足初始条件0
y(0)=0,y’(0)=1 的解。
数学物理方法试卷（全答案）.pdf - 图文
