《高等数学》考研同济大学考研复习笔记和考研真题
第1章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1函数
（1）函数的性质（见表1-1）
表1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点
a．函数f和反函数f－1的单调性一致。 b．f的图像和f－1的图像关于直线y＝x对称。 ②复合函数
g与f能构成复合函数f°g的条件是：f的定义域与g的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算
设函数f（x），g（x）的定义域为Df，Dg，且定义域有交集为D，则可定义这两个函数的下列运算
和（差）f±g：（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D。 积f·g：（f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D。
商f/g：（f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\\{x|g（x）＝0，x∈D}。 （4）初等函数
5类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 二、数列的极限 1数列极限的定义 数列{xn}收敛于a?数列{xn}是发散?2收敛数列的性质 （1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。 （2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数M，使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。 ②无界数列：不存在正数M，使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。 （3）保号性 如果
，且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有xn
??ε＞0，?正整数N，当n＞N时，有|xn－a|＜ε。 不存在。
＞0（或xn＜0）。
推论：如果数列{xn}从某项起有xn≥0（或xn≤0）且（4）收敛数列与其子数列间的关系
①如果数列{xn}收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。
，则a≥0（或a≤0）。
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。 ③一个发散的数列也可能有收敛的子数列。 三、函数的极限 1函数极限的定义
（1）函数f（x）极限的两种情形 ①自变量x趋于有限值x0时函数的极限
只有及都存在并且相等时，x→x0时极限存在。
②自变量x趋于无穷大时函数的极限
??ε＞0，?δ＞0，当|x|＞X时，有|f（x）－A|＜ε。 2函数极限的性质 （1）唯一性 如果
存在，则这极限唯一。
（2）局部有界性 如果|≤M。
（3）局部保号性 ①如果
，且A＞0（或A＜0），则存在常数δ＞0，使得当0＜|x－x0|，则存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜|x－x0|＜δ时，有|f（x）
＜δ时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）。 ②如果
时，有|f（x）|＞|A|/2。
°°
，则存在着x0的某一去心邻域U（x0），当x∈U（x0）
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