2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．设全集是实数，若A={x|x?2≤0}，B={x|10x2?2=10x},则A?B是 （ ）
(A) {2} (B) {?1} (C) {x|x≤2} (D) ?
2．给定正数p,q,a,b,c，其中p?q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二
2
次方程bx?2ax+c=0 （ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 3．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y?(A)
54x?的距离中的最小值是 35343411 (B) (C) (D) （ ） 1708520304．设??cos4
?5532432
(A) x+x+x+x+1=0 (B) x?x+x?x+1=0
432432
(C) x?x?x+x+1=0 (D) x+x+x?x?1=0
?isin?，则以?,?,?,?为根的方程是 （ ）
379
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 5．arcsin(sin2000?)=__________. 6．设
an是(3?
x)n的展开式中
x项的系数(n=2,3,4,…)，则
32333nlim(????)=________. n??aaa23n7．等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
x2y28． 在椭圆2?2?1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若
ab该椭圆的离心率是
5?1，则∠ABF=_________. 2
【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等． A M
N
B C E F
二．（本题满分50分） D 设数列{a n}和{b n }满足，且
?an?1?7an?6bn?3 n?0,1,2,??b?8a?7b?4nn?n?1证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．
三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电
k
话的次数相等，都是3 次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
2000年全国高中数学联合竞赛试题答案
1.【答案】D
【解析】由x?2?2得x=2，故A={2}；由102}.所以A?B=φ.
x2?2?10x得x2?x?2?0，故B={-1，
3．【答案】C
【解析】如图所示，设BD=t，则OD=3t-1，从而B（3t-1，t）
22满足方程x?y?1，可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC的面积是33.
4．【答案】 A
【解析】由题意知
pq=a
2
，2b=p+c,2c=q+b
?b?2p?q3，
c?p?2q2p?qp?2q32322
≥pq?pq2=pq=a .因为p≠q，故bc> a，方程?bc=
3332
的判别式Δ= 4a -4bc<0，因此，方程无实数根.
5．【答案】B
【解析】设整点坐标(m,n)，则它到直线25x-15y+12=0的距离为
d?25m?15n?1225?(?15)22?5(5m?3n)?12534
由于m,n∈Z，故5(5m-3n)是5的倍数，只有当m=n=-1，时5(5m-3n)=-10 与12的和的绝对值最小，其值为2，从而所求的最小值为
34. 85二、填空题（满分54分，每小题9分） 7．【答案】-20°
【解析】sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°
故arcsin(sin2000°)= arcsin(-sin20°)= -arcsin(sin20°)= -20° 8．【答案】18 【解析】由二项式定理知，an?2n?C2?3，因此3na?32?2n?1)?18??11??n?1?n??
nn(nlim??32?33???3n??18?1?n????a2a=3an??lim?1??=18. n???n?
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 (3)
