∴a＝－2，∴点A(－2,0)，
综上所述，在x轴上存在一点A(－2,0)，使得x轴平分∠MAN. 规律方法 探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．
(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论． 跟踪演练
x22
1．已知椭圆G：＋y＝1，点B(0,1)，点A为椭圆G的右顶点，过原点O的直线l与椭圆G
4交于P，Q两点(点Q在第一象限)，且与线段AB交于点M.是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解 设Q(x0，y0)，则P(－x0，－y0)， 可知0 假设存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍，则|OP|＝3|MQ|，即|OQ|＝3|MQ|， 2222→2→x0，y0?，得M?x0，y0?. 即OM＝OQ＝?3?3??3?33又A(2,0)，∴直线AB的方程为x＋2y－2＝0. 24 ∵点M在线段AB上，∴x0＋y0－2＝0， 33整理得x0＝3－2y0，① x20 ∵点Q在椭圆G上，∴＋y20＝1，② 4把①式代入②式可得8y20－12y0＋5＝0， ∵判别式Δ＝(－12)2－4×8×5＝－16<0， ∴该方程无解． ∴不存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍． x2y2 2．(2020·滁州模拟)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，是否存在斜率为－1 43的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆E相交于C，D两点，且|CD|·|AB|＝ 1213？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 7 解 假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m， 由题意知，F1(－1,0)，F2(1,0)， 所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1， |－m| 由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d＝<1，得|m|<2， 2 |AB|＝21－d＝2 2 2 2 m21－＝2×2－m2， 2 xy??4＋3＝1，由?消去y，整理得 ??y＝－x＋m7x2－8mx＋4m2－12＝0. 由题意，Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0， 解得m2<7， 又|m|<2，所以m2<2. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 4m2－128m 则x1＋x2＝，x1x2＝， 77|CD|＝ 1＋k2|x 336－48m2 2－x1|＝2×7 467－m2 ＝， 7若|CD|·|AB|＝ 1213， 7461213×7－m2＝， 77 则2×2－m2× 整理得4m4－36m2＋17＝0， 117 解得m2＝或m2＝. 22 12 又m2<2，所以m2＝，即m＝±. 22故存在符合条件的直线l，其方程为 y＝－x＋ 22或y＝－x－. 22 专题强化练 x2y2 1. (2020·广州模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1.过点P(0,1)的动直线l(直线l的斜率存在)与 42|QA|S△APQ 椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成 |QB|S△BPQ立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． |QA|S△APQ 解 假设在y轴上存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立． |QB|S△BPQ 设Q(0，m)(m≠1)，A(x1，y1)， B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋1， xy??4＋2＝1，由?得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， ??y＝kx＋1，4k2 显然，Δ>0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－2， 2k＋12k＋11 |QP||QA|sin∠PQA S△APQ2|QA|sin∠PQA ＝＝， S△BPQ1|QB|sin∠PQB |QP||QB|sin∠PQB2∵ |QA|S△APQ ＝，∴sin∠PQA＝sin∠PQB， |QB|S△BPQ 2 2 y1－my2－m ∴∠PQA＝∠PQB，∴kQA＝－kQB，∴＝， x1－x2∴(m－1)(x1＋x2)＝2kx1x2， 4k2 即－(m－1)·2＝－2k·2，解得m＝2， 2k＋12k＋1|QA|S△APQ ∴存在定点Q(0,2)，使得＝恒成立． |QB|S△BPQ2．在平面直角坐标系xOy中． ①已知点Q(3，0)，直线l：x＝23，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之比为 2. 2 ②已知点H(－3，0)，G是圆E：x2＋y2－23x－21＝0上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P. 6→3→→ ③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足OP＝OS＋OT. 33 (1)在①②③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) (2)设圆O：x2＋y2＝2上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径 的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解 (1)若选①， ?x－3?2＋y22设P(x，y)，根据题意得，＝， 2|x－23|x2y2 整理，得＋＝1， 63 x2y2 所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1. 63若选②， 由E：x2＋y2－23x－21＝0得(x－3)2＋y2＝24， 由题意得|PH|＝|PG|， 所以|PH|＋|PE|＝|PG|＋|PE|＝|EG|＝26 >|HE|＝23， 所以点P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆， 且a＝6，c＝3，则b＝3， x2y2 所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1. 63若选③， 设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，则x′2＋y′2＝9，(*) 6→3→→ 因为OP＝OS＋OT， 33 ?x＝36x′， 所以? 3y＝?3y′， 6??x′＝x， 2即? ??y′＝3y， x2y2 将其代入(*)，得＋＝1， 63 x2y2 所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1. 63 (2)当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为x＝2，x＝－2， 当切线方程为x＝2时，M(2，2)，N(2，－2)， 以MN为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝2.① 当切线方程为x＝－2时，M(－2，2)，N(－2，－2)， 以MN为直径的圆的方程为(x＋2)2＋y2＝2.② 由①②联立，可解得交点为(0,0)． 当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋m，即 |m| ＝2，即m22 k＋1 ＝2(k2＋1)． y＝kx＋m，?? 联立切线与椭圆C的方程?x2y2并消去y，得 ＋＝1，??63(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 因为Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＝－8(m2－6k2－3)＝－8(2k2＋2－6k2－3)＝8(4k2＋1)>0， 所以切线与椭圆C恒有两个交点． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 2m2－64km 则x1＋x2＝－，xx＝， 1＋2k2121＋2k2→→ 因为OM＝(x1，y1)，ON＝(x2，y2)， →→ 所以OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)·2m2－6－4km ＋km·＋m2 1＋2k21＋2k2 3m2－6－6k23×2?k2＋1?－6－6k2＝＝＝0. 1＋2k21＋2k2所以OM⊥ON， 所以以MN为直径的圆过原点(0,0)， 综上所述，以MN为直径的圆过定点(0,0)．
第12讲圆锥曲线范围、最值和探索性问题（高考数学二轮复习微专题连载） - 图文
