参考答案：
一、范围、最值问题
x2y2
母题 (2020·长沙模拟)已知椭圆E：＋＝1.若椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F2
43的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，记△F1MN的内切圆的半径为r，试求r的取值范围．
思路分析
?引入参数，设直线l的方程 ↓
?联立l和E的方程?设而不求，根与系数的关系? ↓
?等积法求出r的表达式 ↓
?函数思想求r的范围 解 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则△F1MN的周长为4a＝8.
SF1MN1
＝(|F1M|＋|F1N|＋|MN|)r＝4r， 2即r＝
1S4F1MN，
当l⊥x轴时，l的方程为x＝1，|MN|＝3， r＝
1S4113＝×|MN|×|FF|＝， 12F1MN424
当l与x轴不垂直时，设l：y＝k(x－1)(k≠0)， y＝k?x－1?，??
由?x2y2得(4k2＋3)y2＋6ky－9k2＝0， ??4＋3＝1，6k9k2
所以y1＋y2＝－2，y1y2＝－2，
4k＋34k＋3
SF1MN＝SF1F2M＋SF1F2N
11
＝|F1F2|·|y1|＋|F1F2|·|y2| 221
＝|F1F2|·|y1－y2| 2
1
＝|F1F2|·?y2＋y1?2－4y1y2 21
＝×2×2＝12?－6k?2－4?－9k? ?4k2＋3??4k2＋3?
2k2?k2＋1?
，
?4k2＋3?2
F1MN1所以r＝S4＝3k2?k2＋1?
.
?4k2＋3?2
令4k2＋3＝t，则t>3， 3r＝4＝34
t2－2t－33
＝t24
1?2?1?－3??t?－2?t?＋1
11?24－3??t＋3?＋3，
113因为t>3，所以0<<，所以0 t343 0，?. 综上可知，r的取值范围是??4?x2y2 [子题1] (2020·安徽肥东县高级中学调研)过点M(0,2)的直线l与椭圆E：＋＝1交于A， 43B两点，求△AOB面积的最大值． 解 显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋2， A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝kx＋2，?? 由?x2y2得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， ??4＋3＝1，则Δ＝(16k)2－4×4(3＋4k2)>0， －16k14即k2>，x1＋x2＝，xx＝， 12 43＋4k23＋4k2∴|x1－x2|＝?x1＋x2?2－4x1x2＝ ?－16k?2－4×4＝4?3＋4k2?3＋4k2??3?4k2－1? ， ?4k2＋3?2 3?4k2－1? ， ?4k2＋3?2 1 则S△OAB＝S△OMB－S△OMA＝×2×|x1－x2|＝4 2 设t＝4k2－1>0，∴S(t)＝4 3t ＝4?t＋4?2 3≤416t＋＋8 t23＝3， 16t·＋8t165当且仅当t＝，即t＝4，即4k2－1＝4，即k＝±时取等号， t2∴△AOB面积的最大值为3. x2y2 [子题2] 已知A(2,1)，过点B(3,0)且斜率大于0的直线l与椭圆E：＋＝1相交于点P，Q， 63直线AP，AQ与x轴分别相交于M，N两点，求|BM|＋|BN|的取值范围． 解 设直线l的方程为x＝my＋3(m>0)，P(x1，y1)， Q(x2，y2)， 则直线AP的方程为y－1＝可得M?同理N? y1－1 (x－2)， x1－2 ?2y1－x1，0?，即M??2－m?y1－3，0?， ??y－1? ?y1－1??1? ??2－m?y2－3，0?. ? ?y2－1? ??x＝my＋3，联立?2消去x，整理得 2＝6，?x＋2y? (2＋m2)y2＋6my＋3＝0， 由Δ＝36m2－12(2＋m2)>0，可得m2>1， y1＋y2＝－ 6m3 ，yy＝， 12 2＋m22＋m2 ?2－m?y1－3?2－m?y2－3?2－m?y1－3?2－m?y2－3 ＋3－＝6－－＝6－ y1－1y2－1y1－1y2－1 所以|BM|＋|BN|＝3－ ?4－2m?y1y2＋?m－5??y1＋y2?＋6 y1y2－?y1＋y2?＋124?m＋1?24＝6－2＝6－， m＋6m＋5m＋5 24因为m>0，m2>1，所以m>1，因此0<<4， m＋524 所以2<6－<6， m＋5 所以|BM|＋|BN|的取值范围是(2,6)． 规律方法 求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系． (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式． 跟踪演练 x22 1．设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C1：＋y＝1交于不同的两点P，Q，若O在以线段PQ 4为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围． 解 显然直线x＝0不满足题设条件，故可设直线l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． x??4＋y2＝1，由?得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0. ??y＝kx＋2，∵Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0， ∴k∈?－∞，－2 ? 3??3?∪，＋∞， 2??2? ∴x1＋x2＝ －16k12，xx＝， 12 1＋4k21＋4k2 →→ 根据题意，得0°<∠POQ<90°，即OP·OQ>0， 12?1＋k2?→→2 ∴OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋ 1＋4k2－16k?16－4k2?2k×??＋4＝1＋4k2>0，解得－2 ? 3??3?∪，2. 2??2? 2．(2020·蚌埠模拟)直线y＝kx＋2交抛物线C：x2＝4y于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线l1，l2，若l1，l2分别交x轴于点M，N，求四边形ABNM面积的最小值． ??y＝kx＋2， 解 由?2得x2－4kx－8＝0， ?x＝4y，? Δ＝16k2＋32>0，设A(x1，y1)B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，|x1－x2|＝4k2＋2， 11 y′＝x，∴切线l1的方程为y－y1＝x1(x－x1)， 22112 即y＝x1x－x1，① 24 11同理切线l2的方程为y＝x2x－x2，② 242x1＋x21 联立①②得x＝，y＝x1x2＝－2， 24即切线l1与l2的交点为P? x1＋x2 ，－2?， ?2?
第12讲圆锥曲线范围、最值和探索性问题（高考数学二轮复习微专题连载） - 图文
