第12讲 圆锥曲线范围、最值和探索性问题
一、范围、最值问题
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母题 (2020·长沙模拟)已知椭圆E：＋＝1.若椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F2
43的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，记△F1MN的内切圆的半径为r，试求r的取值范围．
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[子题1] (2020·安徽肥东县高级中学调研)过点M(0,2)的直线l与椭圆E：＋＝1交于A，
43B两点，求△AOB面积的最大值．
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[子题2] 已知A(2,1)，过点B(3,0)且斜率大于0的直线l与椭圆E：＋＝1相交于点P，Q，
63直线AP，AQ与x轴分别相交于M，N两点，求|BM|＋|BN|的取值范围．
规律方法 求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系．
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式． 跟踪演练
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1．设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C1：＋y＝1交于不同的两点P，Q，若O在以线段PQ
4为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围．
2．(2020·蚌埠模拟)直线y＝kx＋2交抛物线C：x2＝4y于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线l1，l2，若l1，l2分别交x轴于点M，N，求四边形ABNM面积的最小值．
专题强化练
1．(2020·潍坊模拟)设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A是E上一点，且线段AF的中点坐标为(1,1)．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若B，C为抛物线E上的两个动点(异于点A)，且BA⊥BC，求点C的横坐标的取值范围． 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，过直线l：x＝4左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且|PH|＝2|MF|，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
1?→→
(2)过点F作直线l′交曲线C于A，B两点，设AF＝λFB，若λ∈??2，2?，求|AB|的取值范围．
二、探索性问题
母题 已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
m?(2)若l过点??3，m?，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． [
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子题1] 已知椭圆C：＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2.
4(1)若M为C上任意一点，求|MF1|·|MF2|的最大值；
(2)椭圆C上是否存在点P(异于点A1，A2)，使得直线PA1，PA2与直线x＝4分别交于点E，F，且|EF|＝1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[子题2] (2020·合肥适应性检测)已知抛物线C：y2＝4x，过点(2,0)作直线l与抛物线C交于M，N两点，在x轴上是否存在一点A，使得x轴平分∠MAN？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 跟踪演练
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1．已知椭圆G：＋y＝1，点B(0,1)，点A为椭圆G的右顶点，过原点O的直线l与椭圆G
4交于P，Q两点(点Q在第一象限)，且与线段AB交于点M.是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． x2y2
2．(2020·滁州模拟)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，是否存在斜率为－1
43的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆E相交于C，D两点，且|CD|·|AB|＝
1213？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 7
第12讲圆锥曲线范围、最值和探索性问题（高考数学二轮复习微专题连载） - 图文
