[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷65
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 若f(x)在开区间(a，b)内可导，且x1，x2是(a，b)内任意两点，则至少存在一点ξ，使下列诸式中成立的是 ( )
（A）f(x2)一f(x1)=(x1一x2)f'(ξ)，ξ∈(a，n)
（B）f(x1)一f(x2)=(x1一x2)f'(ξ)，ξ在x1，x2之间
（C）f(x1)一f(x2)=(x2一x1)f'(ξ)，x1＜ξ＜x2
（D）f(x2)一f(x1)=(x2一x1)f'(ξ)，x1＜ξ＜x2
2 在区间[0，8]内，对函数
（A）不成立
（B）成立，并且f'(2)=0
（C）成立，并且f'(4)=0
（D）成立，并且f'(8)=0 3 函数
（A）右导数
（B）导数
答案见麦多课文库
罗尔定理 ( )
在x=π处的 ( )
（C）左导数
（D）右导数
4 设函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)= ( )
（A）n[f(x)]n+1
（B）n![f(x)]n+1
（C）(n+1)[f(x)]n+1
（D）(n+1)![f(x)]n+1 5 函数
( )
（A）只有极大值，没有极小值
（B）只有极小值，没有极大值
（C）在x=一1处取极大值，x=0处取极小值
（D）在x=一1处取极小值，x=0处取极大值
6 若f(x)在x0点至少二阶可导，且处 ( )
（A）取得极大值
（B）取得极小值
（C）无极值
则函数f(x)在x=x0
答案见麦多课文库
（D）不一定有极值
7 设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又
则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为 ( )
（A）
（B）0
（C）一1
（D）一2
二、填空题
8 设y=ln(1+3-x)，则dy=___________． 9 设 10 11 设 12 设
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
则
其中f可导，且f'(0)≠0，则
则y'=__________．
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13 试证明：曲线
恰有三个拐点，且位于同一条直线上．
14 求曲线
15 求极坐标系下的曲线 16 作函数
的斜渐近线．
的斜渐近线．
的图形．
17 求函数y=excosx的极值．
18 设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f'(x)的零点．
18 设函数f(x)在[(a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0．求证：
19 存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf'(ξ)=0；
20 存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f'(η)=0．
21 设函数f(x)在[一2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f2(0)+[f'(0)]2=4．试证：在(一2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f\ξ)=0．
22 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(a，b＞0)，在(a，b)内可导．试证：在(a，b)内
至少有一点ξ，使等式
成立．
答案见麦多课文库
23 设f(x)在
使得
上具有连续的二阶导数，且f'(0)=0．证明：存在ξ，η，
24 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f(a)≠f(b)．试证：存在η,ξ∈(a，
b)，使得
25 求曲线y=ex上的最大曲率及其曲率圆方程．
26 设一质点在单位时间内由点A从静止开始做直线运动至点B停止，A，B两点间距离为1，证明：该质点在(0，1)内总有某一时刻的加速度的绝对值不小于4．
27 设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，试证：在(a，b)内存在ξ，使得
28 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：存在ξ∈(0，3)，使f'(ξ)=0．
28 设f(x)，g(x)在[a，b]k-阶可导，g\，f(a)=f(b)=g(n)=g(b)=0，证明：
29 在(a，b)内，g(x)≠0；
30 在(a，b)内至少存在一点ξ，使
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