第七章第7节动能和动能定理

由天下分享时间：2024/10/20 4:19:06 加入收藏我要投稿点赞

第7节动能和动能定理

一、动能

11．定义：物体由于运动而具有的能．2．表达式：Ek＝mv2．3．单位：焦耳. 1 J＝1 kg·m2/s2＝1 N·m.

2二、动能定理

1．表述：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量．

1121212

2．表达式：W合＝mv22－mv1，式中W合是各个外力对物体做功的总和，mv2－mv1是做功过程中始末两个2222状态动能的增量．一、合作探究找规律考点一动能的表达式

1．同步卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星的运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？

2．在同一高度以相同的速率将手中的小球以上抛、下抛、平抛三种不同方式抛出，落地时速度、动能是否相同？

答：1.速度变化，动能不变．卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的；运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的． 2．重力做功相同，动能改变相同，末动能、末速度大小相同，但末速度方向不同．考点二动能定理

如图所示，物体(可视为质点)从长为L、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止滑下． 1．物体受几个力作用？各做什么功？怎么求合力的功？

2．如何求物体到达斜面底端时的速度吗？能用多种方法求解物体到达斜面底端时的速度吗？哪种方法简单？

答：1.物体受重力、支持力两个力作用．重力做正功，支持力不做功．合力做的功W合＝mgLsinθ. 2．可以用牛顿定律结合运动学公式求解，也可以用动能定理求解．用动能定理更简捷．二、理解概念做判断

1．做匀速圆周运动的物体的动能保持不变．( ) 2．一个物体的动能与参考系的选取无关．( )

3．两质量相同的物体，若动能相同，则速度一定相同．( ) 4．合外力做功不等于零，物体的动能一定变化．( ) 5．动能定理中的W为合力的功．( ) 6．物体的动能增加，合外力做正功．( )

要点1|动能的理解

1．动能的理解

让铁球从光滑的斜面上由静止滚下，与木块相碰，推动木块做功．(如图所示)

(1)让同一铁球从不同的高度由静止滚下，可以看到：高度大时铁球把木块推得远，对木块做的功多． (2)让质量不同的铁球从同一高度由静止滚下，可以看到：质量大的铁球把木块推得远，对木块做的功多．以上两个现象说明动能的影响因素有哪些？ 1．对动能的理解

(1)动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关．

(2)动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应．

(3)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系． 2．动能变化量ΔEk

物体动能的变化量是末动能与初动能之差，即ΔEk＝mv22－mv12，若ΔEk>0，则表示物体的动能增加，若ΔEk<0，

22则表示物体的动能减少．

(多选)关于对动能的理解，下列说法正确的是( )

A．动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能 B．动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的

C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化 D．动能不变的物体，一定处于平衡状态

如图所示，通风机通过墙上的小洞，将一质量为m的小物体水平吹出去，初速度为v，

但由于墙外的风力和重力的作用，经过时间t，物体下落了一段距离后，其速度大小仍为v，但方向却与初速度的方向相反，如果以初速度的方向为正方向，那么，下列说法中正确的是( )

A．速度的变化量为0 C．动能的变化量为mv2

动能是标量，前面已学的很多运动学量都是矢量，分析标量时只需关注其数值大小；分析矢量时必须考虑大小、方向两个因素．

名师点易错某物体动能变化时速度一定发生变化，而速度发生变化时动能可能不变.

要点2|动能定理的理解

1．推导

1．动能定理的推导：如图所示，物体仅在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2.

2 2

v 2v 2112－v12－v1

则W＝Fl＝F·＝F·即W＝mv22－mv12

2aF22

B．速度的变化率为

tD．合外力做的功为零

2．对动能定理的理解

(1)如果物体受到几个力的共同作用，则式中的W合表示各个力做功的代数和，即合外力所做的功．

W合＝W1＋W2＋W3＋…

(2)应用动能定理解题的特点：跟过程的细节无关，即不追究全过程中的运动性质和状态变化细节． (3)动能定理的研究对象是质点．

(4)动能定理对变力做功情况也适用．动能定理尽管是在恒力作用下利用牛顿第二定律和运动学公式推导的，但对变力做功情况亦适用．动能定理可用于求变力的功、曲线运动中的功以及复杂过程中的功能转换问题． (5)对合外力的功(总功)的理解

①可以是几个力在同一段位移中的功，也可以是一个力在几段位移中的功，还可以是几个力在几段位移中的功． ②求总功有两种方法：

一种是先求出合外力，然后求总功，表达式为W＝F合·l·cosα，α为合外力与位移的夹角．另一种是总功等于各力在各段位移中做功的代数和，即W＝W1＋W2＋W3＋….

典例2 如图2所示，物体在距离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然

后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°.求物体能在水平面上滑行的距离．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

质量m＝2 kg的物块放在粗糙水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，物

块动能Ek与其发生位移x之间的关系如图所示．已知物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法中正确的是( )

A．x＝1 m时物块的速度大小为2 m/s B．x＝3 m时物块的加速度大小为2.5 m/s2

C．在前2 m位移的运动过程中物块所经历的时间为2 s D．在前4 m位移的运动过程中拉力对物块做的功为9 J

2、距沙坑高7 m处，以v0＝10 m/s的初速度竖直向上抛出一个重力为5 N的物体，物体落到沙坑并陷入沙坑0.4 m深处停下．不计空气阻力，g＝10 m/s2.求：

(1)物体上升到最高点时离抛出点的高度；(2)物体在沙坑中受到的平均阻力大小是多少？

名师方法总结应用动能定理解题时，先选好研究对象，明确研究的过程，再分别求功和动能变化，列方程求解．名师点易错动能定理中涉及的功和动能均为标量，动能定理为一标量表达式，不能在某一方向上应用动能定理列方程.

要点3|动能定理的应用及优越性

1．牛顿第二定律和动能定理的选用比较

比较牛顿第二定律 3

动能定理作用公式研究力和运动关系运动过程中细节的考虑作用力合外力与加速度的关系 F＝ma 力的瞬间作用效果考虑恒力合外力的功与动能变化的关系 W＝Ek2－Ek1 力对空间的积累效果不考虑恒力或变力 2.选用原则：动能定理是根据牛顿第二定律F＝ma和运动学公式v2－v20＝2ax推导出来的，但其应用范围更广泛．凡涉及力的空间积累，而不涉及时间的求解类问题，利用动能定理优于使用牛顿运动定律． 3．应用动能定理的优越性

(1)物体由初始状态到末状态的过程中，物体的运动性质、运动轨迹、做功的力是变力还是恒力等诸多因素都可以不予考虑，使分析简化．

(2)应用牛顿运动定律和运动学规律时，涉及的有关物理量比较多，对运动过程中的细节也要仔细研究，而应用动能定理只考虑合外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理． (3)一般情况下，由牛顿运动定律和运动学规律能够求解的问题，用动能定理也可以求解，并且更为简捷． 4．应用动能定理解题的步骤 (1)确定研究对象和研究过程．

(2)对研究对象进行受力分析．(研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力) (3)写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)．如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功．

(4)写出物体的初、末动能．(注意动能增量是末动能减初动能) (5)按照动能定理列式求解．

典例3 如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.

一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做功为( )

A．μmgR B．mgR C．mgR D．(1－μ)mgR

如图AB水平，在恒力F作用下质量m＝1 kg的小滑块由静止开始运动，当到达B点

时立即停止用力，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.5，AB长为L＝5.0 m，BCD为一半径为R＝1.0 m的光滑半圆轨道，BOD在同一竖直线上(g取10 m/s2)，求：

(1)欲使小滑块刚能通过D点，力F的大小；(2)若力F＝15 N，求小滑块通过D点时对轨道的压力的大小； (3)若使小滑块正好又落回点A，小滑块通过半圆轨道D点时对轨道的压力大小．

名师方法总结

(1)变力做的功不能用功的公式W＝F·lcosα来求．

112(2)动能定理W＝ΔEk＝mv2虽然是在物体受恒力作用，且做直线运动的情况下推导出来的，2－mv1＝Ek2－Ek1，22但是，它同样适用于外力是变力、物体做曲线运动的情况．应用动能定理可以求出变力做的功．名师点易错

1．功的计算公式W＝Flcosα只能求恒力做的功，不能求变力的功，而由动能定理知，只要求出物体的动能变化ΔEk＝Ek2－Ek1，就可以间接求得变力做的功．

2．列方程时等号的左边是合外力做的功，右边是动能的变化量，为末动能减去初动能. 对点训练一动能的理解

1．(多选)(2018·北京模拟)对于物体经历的一个过程，以下说法正确的是( )

A．物体的动能变化为零时，物体所受合外力一定为零B．物体运动的位移为零时，摩擦力做功一定为零 C．物体运动中动能不变时，合外力总功一定为零D．物体所受合外力为零时，物体的动能变化一定为零对点训练二动能定理的理解 2．(多选)下列说法错误的是( )

A．在国际单位制中，长度、质量和时间三个物理量单位为力学基本单位 B．车速越大的汽车，它的惯性越大

C．载重汽车的重心位置跟所载物体的质量和叠放的方式有关

D．在同一路面同一速度行驶的汽车，载重越大，紧急刹车后滑行的路程越长

3．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s，如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )

A．力F对甲物体做功多 B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多 C．甲物体获得的动能比乙大 D．甲、乙两个物体获得的动能相同对点训练三动能定理的应用

54．小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度9H处，小球的动能和势能相等，则物体所受阻力的大小是( )

1111A．mg B．mg C．mg D．mg

2345

5．(2018·西安市长安区期中)甲、乙、丙三辆汽车的质量之比是1∶2∶3，如果它们的动能相等，且轮胎与水平地面之间的动摩擦因数都相等，则它们关闭发动机后滑行距离之比是________．

6．如图所示，水平桌面上的轻质弹簧左端固定，用质量为m＝1 kg的小物块压紧弹簧，从A处由静止释放后的物块，在弹簧弹力的作用下沿水平桌面向右运动，物体离开弹簧后继续运动，离开桌面边缘B后，落在水平地面C点．C点与B点的水平距离x＝1 m，桌面高度为h＝1.25 m，AB长度为s＝1.5 m，物体与桌面之间

的动摩擦因数μ＝0.4，小物块可看成质点，不计空气阻力，取g＝10 m/s2.求：

(1)物块在水平面上运动到桌面边缘B处的速度大小；(2)物块落地时速度大小及速度与水平方向夹角的正切值； (3)弹簧弹力对物块做的功．

课后练习

考点一对动能和动能定理的理解

1．(多选)关于动能，下列说法正确的是( )

A．动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都有动能 B．物体所受合外力不为零，其动能一定变化

C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化 D．动能不变的物体，一定处于平衡状态 2．关于动能定理，下列说法中正确的是( )

A．在某过程中，动能的变化等于各个力单独做功的绝对值之和 B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变 C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动

D．动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况考点二动能定理的应用

3．两个物体A、B的质量之比为mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为( )

A．xA∶xB＝2∶1 B．xA∶xB＝1∶2 C．xA∶xB＝4∶1

D．xA∶xB＝1∶4

4．人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为( ) A．－4 000 J B．－3 800 J C．－5 000 J D．－4 200 J

5．如图1所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中达到的最高点的高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法中正确的是( )

图1

A．运动员踢球时对足球做功mv2 B．足球上升过程重力做功mgh

C．运动员踢球时对足球做功mv2＋mgh D．足球上升过程克服重力做功mv2＋mgh

6．(2017·温州中学高一期中考试)速度为v的子弹，恰可穿透一块固定的木板，如果子弹速度为2v，子弹穿透木块时所受阻力视为不变，则可穿透同样的固定木板( ) A．2块 B．3块 C．4块 D．8块

7．物体沿直线运动的v－t图象如图2所示，已知在第1 s内合力对物体做功为W，则( )

图2

A．从第1 s末到第3 s末合力做功为4W B．从第3 s末到第5 s末合力做功为－2W C．从第5 s末到第7 s末合力做功为W D．从第3 s末到第4 s末合力做功为－0.5W

8．(多选)如图3所示，一个质量是25 kg的小孩从高为2 m的滑梯顶端由静止滑下，滑到底端时的速度为2 m/s(取g＝10 m/s2)．关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )

图3

A．重力做功为500 J B．合外力做功为50 J C．克服阻力做功为50 J D．支持力做功为450 J 9．(2017·温州中学高一期中考试)木块在水平恒力F的作用下，沿水平路面由静止出发前进了l，随即撤去此恒力，木块沿原方向又前进了2l才停下来，设木块运动全过程中地面情况相同，则摩擦力的大小Ff和木块所获得的最大动能Ek分别为( )

FFlFF2Fl2Fl

A．Ff＝ Ek＝ B．Ff＝ Ek＝Fl C．Ff＝ Ek＝ D．Ff＝F Ek＝

2223333

10.(2017·宁波市八校高一下学期期末考试)如图4所示，AC和BC是两个固定的斜面，斜面的顶端在同一竖直线上．质量相同的两个物体分别自斜面AC和BC的顶端由静止开始下滑，物体与斜面间的动摩擦因数相同．从斜面AC上滑下的物体滑至底部C点时的动能为Ek1，下滑过程中克服摩擦力所做的功为W1；从斜面BC上滑下的物体滑至底部C点时的动能为Ek2，下滑过程中克服摩擦力所做的功为W2，则( )

图4

A．Ek1＜Ek2，W1＞W2 B．Ek1＞Ek2，W1＞W2 C．Ek1＞Ek2，W1＝W2 D．Ek1＜Ek2，W1＜W2 11.(动能定理的应用)(2018·余姚市高一下学期期中考试)如图5所示，小明和小红一起去冰雪嘉年华游玩，小红与冰车静止在水平冰面上时总质量为m＝30 kg，冰车与冰面间的动摩擦因数为μ＝0.02，小明用21 N的水平恒力推冰车，经过时间4 s(取重力加速度g＝10 m/s2)，求：

(1)水平推力做的功WF和克服摩擦阻力做的功；(2)小红和冰车获得的总功能Ek.

12．(动能定理的应用)如图6所示，竖直平面内的一半径R＝0.5 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，质量m＝0.1 kg的小球(可看做质点)从B点正上方H＝0.75 m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出，不计空气阻力，求：(取g＝10 m/s2) (1)小球经过B点时的动能； (2)小球经过最低点C时的速度大小vC；(3)小球经过最低点C时对轨道的压力大小．

13．(动能定理的应用)如图7所示，AB段为粗糙水平面轨道，BC段是固定于竖直平面内的光滑半圆形导轨，半径为R.一质量为 m的滑块静止在A点，在水平恒力F作用下从A点向右运动，当运动至B点时，撤去恒力F，滑块沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C.已知滑块与水平轨道间的滑动摩擦力Ff＝mg

＝.求： 2

(1)滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ；(2)滑块运动至C点的速度大小vC；(3)水平轨道AB的长度L.

，水平恒力F4