2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6 2．(2013大纲全国，理2)(1+3i)3＝( )．
A．－8 B．8 C．－8i D．8i
3．(2013大纲全国，理3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
4．(2013大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )．
1???1??1,????,1?2? C．(－1,0) D．?2? A．(－1,1) B．?1?－1
1?5．(2013大纲全国，理5)函数f(x)＝log2?(x＞0)的反函数f(x)＝???x?( )．
11xxA．2?1(x＞0) B．2?1(x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x
－1(x＞0)
6．(2013大纲全国，理6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝?，则{an}的前10项和等于( )．
431A．－6(1－3－10) B．9(1－310) C．3(1－3－10)
D．3(1＋3－10)
7．(2013大纲全国，理7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )．
A．56 B．84 C．112 D．168
x2y8．(2013大纲全国，理8)椭圆C：?=1的左、右顶点分别为A1，A2，点
432P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值
范围是( )．
?13??33??1??3?,,,1,1????????A．?24? B．?84? C．?2? D．?4?
?,??9．(2013大纲全国，理9)若函数f(x)＝x2＋ax＋在???是增函数，则ax?2?11的取值范围是( )．
A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞) 10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则
CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )．
3221A．3 B．3 C．3 D．3
11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的
uuuruuur焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA?MB?0，则k＝( )．
21A．2 B．2 C．2 D．2
12．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )．
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线
x=π2对称
3C．f(x)的最大值为2 D．f(x)既是奇函数，又是
周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝?，则cot α＝__________.
14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)
?x?0,?15．(2013大纲全国，理15)记不等式组?x?3y?4,所表示的平面区域为
?3x?y?4?13D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．
16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求B； (2)若sin Asin C＝3?1，求C 43219．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求二面角A－PD－C的大小．
20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，
每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为
1，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． 2(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
x2y221．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2?2=1(aab＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个
交点间的距离为6. (1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
ln(1+x)?x?1??x?. 1?x(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；
(2)设数列{an}的通项an=1+??L?，证明：a2n－an＋
11231n1＞ln 2. 4n2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B
解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B. 2． 答案：A
解析：(1+3i)3=13?3i+3(3i)2+(3i)3=?8.故选A. 3． 答案：B
解析：由(m＋n)⊥(m－n)?|m|2－|n|2＝0?(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0?λ＝－3.故选B. 4． 答案：B
解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜?.故选B. 5． 答案：A
解析：由题意知1+＝2y?x＝因此f－1(x)＝
1x1(y＞0)， 2y?1121(x＞0)．故选A. 2x?1
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