1.3.2 奇偶性
建议用时 45分钟 2
实际用时 满分 100分 实际得分 一、选择题(本大题共5个小题，每小题6分，共30分) 1．已知函数f（x）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（ ）
A．a?b＝0
1，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，32．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝ －f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
1
3．若函数f(x)＝ax＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
x
A．任意
函数 B．任意
函数
C．存在a∈R，函数f(x)为奇函数 D．存在a∈R，函数f(x)为偶函数 4．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是 增函数，又f(2)＝0，则A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(2，＋∞) 5.设偶函数f（x）是增函数，则A．f(π)>f(3) >f (2) B．f(π)>f(2)>f(3) C．f(π) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题6分，共24分) 6.若函数 f（x）的定义域为 R，当 a∈R，函数 f(x)在(0，＋∞)上是减 a∈R，函数 f(x)在(0，＋∞)上是增 f(x)?f(?x)的解集为( ) xx?[0,??)时， f(?2)，f(?)，f(?3)的大小关系是（ ） f(x)满足f(?x)??f(x)，并且x?0时，f(x)?2x3?x?1，则当x?0时， f(x)= . 7.若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m ＝_________． 8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________. 9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝________. 三、解答题(本大题共3个小题，共46分) 10.（14分）判断下列函数的奇偶性： 2x2＋2x (1)f(x)＝； x＋1(2)f(x)＝1－x2＋x2－1； 4－x2(3)f(x)＝ |x＋2|－2 11．（15分）设函数y＝f（x）（x?R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1） ＋ f（x2），求证：f（x）是偶函数. ??x2?2x,x?0,?12．（17分）已知函数f(x)＝?0,x?0,是奇函数． ?x2?mx,x?0? (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围 一、选择题 1.A 解析：由f（x）＝ax＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0． 2 又定义域为［a－1，2a］，∴ a－1＝2a，∴ a?1．故选A． 32.D 解析：∵ f(x－4)＝－f(x)，∴ T＝8.又f(x)是R上的奇函数，∴ f(0)＝0. ∵ f(x)在[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[0,2]上恒大于等于0. 又f(x)是奇函数，∴ f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)在[2,0]上恒小于等于0.. 易知x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数． 同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0.如图． ∵ f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0，∴ f(－25)＜f (80)＜f(11)． 3.C 解析：当a＝1时，函数f(x)在(0,1)上为减函数，A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，B错；D选项中的a不存在． 4.A 解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝0，所以x>2或－2 f?x?是偶函数,所以f??2??f?2?,f??3??f?3?.因为当 x?[0,??)时是增函数,所以f?2??f?3??f?π?,所以f??2??f??3??f?π?. 二、填空题 6. 2x3?x?1 解析：当 x?0时， ?x?0， 3f?x???f??x????2??x????x??1??2x3?x?1. ??7. 0 解析：因为函数y＝（m－1）x＋2mx＋3为偶函数，∴ f（－x）＝f（x），即 2 (m－1)(－x) 2 ＋ 2m（－x）＋3＝（m1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0． 8.－1 解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x). 又f(x)为奇函数，所以当x<0时,f(x)＝x(1－x). 当<0时,f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0， 解得a＝－1或a＝2(舍去)． 当0时,即,无解. 9.－0.5 解析：由f(x＋2)＝－，得f(x＋4)＝－＝f(x)，故f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，得f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)． 而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，∴ f(1.5)＝－0.5. 故f(6.5)＝－0.5. 三、解答题 10.解： (1)函数的定义域为{x|x≠－1，}，不关于原点对称， ∴ 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 2??1?x≥0, （2）由?得x＝±1，此时f(x)＝0，x∈{－1,1}． 2??x?1≥0∴ f(x)既是奇函数又是偶函数． ?4－x2≥0，? (3)∵ ?∴ f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． ?|x＋2|－2≠0，? 4－x24－x2 此时f(x)＝＝.又f(－x)＝x|x＋2|－24－x2∴ f(x)＝为奇函数． |x＋2|－2 4?(?x)24－x2 ＝－＝－f(x)， x?x11.证明：由x1，x2?R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1， 则f（1）＝2f（1），∴ f（1）＝0． 又令x1＝x2＝－1， 则 f［－1×（－1）］＝2f（）＝0， ∴ （－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x， ∴ f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数． 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可． 12.解：(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， ??a－2>－1， 结合f(x)的图象知? ?a－2≤1，? 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]
奇偶性练习题及答案
