[A组 学业达标]
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是( ) A．第n－k项 C．第n－k＋1项
B．第n－k－1项 D．第n－k＋2项
k－1n－k＋1－1解析：第k项的二项式系数是Ck，故第n－k＋2项的二项式系n，由于Cn＝Cn
－k＋1. 数为Cnn
答案：D
?1?2．设二项式?3x＋?n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是
x??
( )
A．第9项
C．第9项和第10项 解析：因为展开式的第5项为
T5＝C4nx
B．第8项
D．第8项和第9项
n－4n－4
－4，所以令－4＝0，解得n＝16，所以33
展开式中系数最大的项是第9项．
答案：A
3．(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是( ) A．第4项 C．第5项
B．第4、5项 D．第3、4项
解析：(x－y)n的展开式有n＋1项，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项．
答案：B 4．(1＋x)2n
＋1
的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
B．n－1，n D．n＋2，n＋3
A．n，n＋1 C．n＋1，n＋2
解析：2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第?第?
?2n＋1－1?
＋1?项，2??
?2n＋1＋1?
＋1?项，即第(n＋1)项与第(n＋2)项．故选C. 2??
答案：C
5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 C．1
B．－1 D．2
解析：令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2 ＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 答案：A
6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
n11010解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C10＋…＋C10＝2，令(x＋3y)中x
＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
答案：5
7．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数为________．
2222解析：(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中x2的系数为C22＋C3＋C4＋C5＋C6＝35.
答案：35
8．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则________.
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2＋…＋a6＝64，两a1＋a3＋a5
式相减，得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝
a0＋a2＋a4＋a663－. 65
63
答案：－
65
9．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，求log2(a1＋a3＋…＋a11)的值．
解析：令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3， ∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12， ∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，
a1＋a3＋a5
＝
a0＋a2＋a4＋a6
∴a1＋a3＋…＋a11＝27，
∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.
10．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；
(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．
试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明． 解析：(1)C320＝1 140.
(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.
m－1m－1－1(3)Cm＋…＋Cmm－1＋Cmm＋k－2＝Cm＋k－1.
m－1mm－1m－1－1证明：左边＝Cm＋…＋Cmm＋Cmm＋k－2＝Cm＋1＋Cm＋1＋…＋Cm＋k－2 m－1m＝…＝Cmm＋k－2＋Cm＋k－2＝Cm＋k－1＝右边．
[B组 能力提升]
11．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m
项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )
A．5 C．7
解析：由二项式系数的性质知，
二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即Cm2m＝a， 二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，
m＋1即Cm2m＋1＝C2m＋1＝b，
＋1
展开式的二
B．6 D．8
m
因此13Cm2m＝7C2m＋1，
?2m?！?2m＋1?！所以13·＝7·，所以m＝6.
m！m！m！?m＋1?！答案：B
1
x＋?n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 12．若??x?1
x＋?n展开式的二项式系数之和为2n， 解析：∵??x?∴2n＝64，∴n＝6.
16－r??r＝Crx6－2r. ∴Tr＋1＝Cr6x6
?x?
由6－2r＝0得r＝3，∴其常数项为T3＋1＝C36＝20. 答案：20
13．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________. 解析：在所给的等式中，令x＝1可得 a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27，①
再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝(－4)7，② 把①②相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27＋(－4)7， 所以a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128. 答案：－8 128
?x＋1?n
2n
14．已知?3?的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)的展开式中奇数项的
x??
二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项．
?x＋1?n
n－12n
解析：因为?3?的展开式中的偶数项的二项式系数和为2，而(a＋b)的展开
x??
式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，
所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4， 故第一个展开式中第3项为
T3＝C24(
x)2
?1?3
?3?2＝6x. ?x?
15．在(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值之和．
解析：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
1299(1)二项式系数之和为C09＋C9＋C9＋…＋C9＝2.
(2)令x＝1，y＝1，得各项系数之和 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)令x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59， 又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
59－1
两式相加得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
259－1
故所有奇数项系数之和为. 2
9－k(－3y)k (4)∵Tk＋1＝Ck9(2x)9－k·＝(－1)k29－k·3kCkyk， 9x
∴a1＜0，a3＜0，a5＜0，a7＜0，a9＜0. ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9. 由(3)知|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
第一章 1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(优秀经典课时作业练习及答案详解)
