高等数学（二）重点知识及解析
Ⅰ、函数、极限
一、基本初等函数(又称简单函数)：
（1）常值函数：y?c （2）幂函数：y?x （3）指数函数：y?a(a〉0,且a?1) （4）对数函数：y?logax(a〉0,且a?1) （5）三角函数：y?sinx，y?cosx，（6）反三角函数：y?arcsinx，
axy?tanx，y?cotx
y?arccosx，y?arctanx，y?arccotx
二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
例如：y?lncosx是由y?lnu，u?cosx这两个个简单函数复合而成. 例如：y?arctane是由
3xy?arctanu，u?ev和v?3x这三个简单函数复合而成.
该部分是后面求导的关键！
三、极限的计算
1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将x0代
入到函数表达式中，函数值即是极限值，即limx?x0f(x)?f(x0)。
注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即limC?C。 （2）该方法的使用前提是当x?x0的时候，而x??时则不能用此方法。 例1：x???lim4?4，lim?3??3，limlg2?lg2，lim???，
x??1x??x??6x2?3x?102?3?0?1???1 例2：limx?0x?10?1tan(x?1)tan(2?1)??tan1 （非特殊角的三角函数值不用计算出来）
x?2x?12?12、未定式极限的运算法
0（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将x0代入后函数值即是极限
0例3：lim值。
x2?90例1：计算lim. ………未定式，提取公因式
x?3x?30解：原式=
lim(x?3)(x?3)?lim(x?3)?6
x?3x?3x?3x2?2x?10例2：计算lim. ………未定式，提取公因式
x?1x2?10?x?1?=?x?1?=0?0
解：原式=limlimx?1?x?1??x?1?x?1?x?1?2（2）对于
2?未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小?的这一关系进行计算。
2n?3? ………未定式，分子分母同时除以n
n??3n?1?32?n?2?0?2 ………无穷大倒数是无穷小 解：原式?limn??13?033?n例1：计算lim3x2?2x?1?3x例2：计算lim. ………未定式，分子分母同除以
x??2x3?x2?5?321?2?3x=0?0 ………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2 解：原式=limxxx??152??32xx3、利用等价无穷小的代换求极限
（1）定义：设?和?是同一变化过程中的两个无穷小，如果lim小，记作?～?.
（2）定理：设?、?、?、?均为无穷小，又?～?，?～?，且lim则lim''??=1，称?与?是等价无穷
''?'存在 ?'??'''=lim 或 lim????lim??? ??'（3）常用的等价无穷小代换：当x?0时， sinx～x, tanx～x 例1：当x?0时，sin2x～2x，tan(?3x)～?3x
sin2x2x22=lim=lim= ………sin2x用2x等价代换
x?0x?05xx?055x5tan3x3x例3：极限lim=lim=lim3?3 ………tan3x用3x等价代换
x?0x?0xxx?0例2：极限limⅡ、一元函数的微分学
一、导数的表示符号 （1）函数f(x)在点x0处的导数记作：
f'(x0)，y'x?x0 或
dydxx?x0
（2）函数f(x)在区间（a,b）内的导数记作：
f'(x)，y' 或
dy dx?'??1二、求导公式（必须熟记） （1）(c)?0 （C为常数） （2）(x)??x（3）(e)?e （4）(lnx)'x'x'
'?'1 x（5）(sinx)?cosx （6）(cosx)??sinx （7）(arcsinx)?'11?x2 （8）(arctanx)'?1 1?x2'例：1、
?x?=3x3’2 2、
??'1?1???x?x2 3、?sin?=0
26??'?1?''?2'?34、??0 5、?2???x???2x 6、x?1
?x?三、导数的四则运算 运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，
代入后用导数公式求解.）
（1）(u?v)?u?v
（2）(u?v)?uv?uv 特别地(Cu)?Cu（C为常数）
''''''''u'u'v?uv'（3）()?
vv2例1：已知函数y?x?3cosx?2，求y. 解：y=
'4'?x4??3?cosx??2'=4x3?3sinx?0=4x3?3sinx
''2'例2：已知函数f(x)?xlnx，求f'(x)和f(e). 解：f(x)=
''2'x=2x?lnx?x ??lnx?x2?lnx?'=2x?lnx?x2?1x所以f(e)=2e?lne?e?2e?e?3e （注意：lne=1,ln1=0）
例3：已知函数f(x)?'x，求f'(x). 1?x2'解：f(x)=
'?x??1?x2??x?1?x2??1?x?221?x??x?2x1?x?==
?1?x??1?x?222222
四、复合函数的求导 1、方 法 一：
例如求复合函数y?sinx的导数.
（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的. 如y?sinx由y?sinu和u?x这两个简单函数复合而成 （2）用导数公式求出每个简单函数的导数. 即
222dydu=cosu，=2x dudxdydydu??=2xcosu=2xcosx2 dxdudx复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复
（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去. ∴
2、方 法 二（直接求导法）：
合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导. 例1：设函数y?cos(?3x)，求y.
解：y=?cox(?3x)?=?sin(?3x)·(?3x)=?sin(?3x)·(?3)=3sin(?3x)
''''例2：设函数y?e解：y=
'lnx，求y.
'?elnx?=elnx·(lnx)'=
'1lnxe x注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。 五、高阶导数 d2y''1、二阶导数记作：y，f(x) 或 2
''dx我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.
2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导
（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导 例1：已知y?5sinx，求y''.
'''解：∵y=5cosx，∴y=?5sinx
例2：已知y?e解：∵即y2x，求
'y''x?0.
'y'=e2x??2x?=2e2x，∴y''=2?e2x??2x?=4e2x
=4
''x?0六、微分的求法：
（1）求出函数
y?f(x)的导数f'(x).
'（2）再乘以dx即可.即dy?f(x)dx. 例1：已知y?lnx，求dy. 解：∵y=∴dy=
'2?lnx2?=
'41122'== ?x?2x??22xxx2dx x例2：设函数y?x?cosx，求dy. 解：∵y=∴dy=
'?x?cosx?x?cosx?=4x4'4'3cosx?x4sinx
?4x3cosx?x4sinx?dx
Ⅲ、二元函数的微分学
一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变．．．．
量的变化范围称为定义域，通常记作D。 ．．．
例如：二元函数通常记作：z?f(x,y)，(x,y)?D
二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法：
（1）设二元函数z?f(x,y)，则函数z在区域D内对x和对y的偏导数记为：
?z?z''''，fx(x,y)，zx ； ，fy(x,y)，zy
?y?x（2）设二元函数z?f(x,y)，则函数z在点
?x0,y0?处对x和对y的偏导数记为：
?x0,y0?，
?z?x?x0,y0?，
f'x?x0,y0?，z'x?x0,y0? ；
?z?yf'y?x0,y0?，z'y?x0,y0?；
2、偏导数的求法
（1）对x求偏导时，只要将
y看成是常量，将x看成是变量，直接对x求导即可.
成考专升本高等数学重点及解析
