2016考研数学（一）真题完整版
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）若反常积分
???a1x?1?x?b0dx收敛，则（ ）
?A?a?1且b?1?B?a?1且b?1?C?a?1且a?b?1?D?a?1且a?b?1??2?x?1?,x?1（2）已知函数f?x???，则f?x?的一个原函数是（ ）
??lnx,x?12???x?1?,x?1?A?F?x?????x?lnx?1?,x?12???x?1?,x?1?B?F?x?????x?lnx?1??1,x?1
22????x?1?,x?1??x?1?,x?1?C?F?x????D?F?x??????x?lnx?1??1,x?1?x?lnx?1??1,x?1
（3）若y?1?x2??2?1?x2,y??1?x2??1?x2是微分方程y??p?x?y?q?x?的两
2个解，则q?x??（ ）
?A?3x?1?x2??B??3x?1?x2??C?x1?x2?D??x1?x2
?x,x?0?（4）已知函数f?x???11，则（ ） 1,?x?,n?1,2,??n?nn?1（A）x?0是f?x?的第一类间断点 （B）x?0是f?x?的第二类间断点 （C）f?x?在x?0处连续但不可导 （D）f?x?在x?0处可导 （5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A）A与B相似 （B）A与B相似 （C）A?A与B?B相似 （D）A?A与B?B相似
（6）设二次型f?x1,x2,x3??x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，则f?x1x,2x,3222TT?1?1TT?1?12??在
空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）
（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （C）柱面
（7）设随机变量X~N??,?????0?，记p?P?X?????，则（ ）
22（A）p随着?的增加而增加 （B）（C）p随着?的增加而减少 （D）p随着?的增加而增加 p随着?的增加而减少
1，将3（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A1,A2,A3，且三种结果发生的概率均为
试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（ ）
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
tln?1?tsint?dt??__________（9）lim0x?0x1?cosx2
（10）向量场A?x,y,z???x?y?z?i?xyj?zk的旋度rotA?_________
（11）设函数f?u,v?可微，z?z?x,y?由方程?x?1?z?y?xf?x?z,y?确定，则
22dz?0,1??_________
（12）设函数f?x??arctanx?x，且f''?0??1，则a?________ 21?ax??100??1（13）行列式
00?43200?1?____________.
??12（14）设x1,x2,...,xn为来自总体N?,?的简单随机样本，样本均值x?9.5，参数?的
??置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则?的置信度为0.95的双侧置信区间为______.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）已知平面区域D???r,??2?r?2?1?cos??,????2??????，
2?计算二重积分
??xdxdy.
D'''（16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y?2y?ky?0,其中0?k?1.
???证明：反常积分?0
??y(x)dx收敛；
????若y(0)?1,y(0)?1,求?0'??y(x)dx的值.
（17）（本题满分10分）设函数f(x,y)满足
?f(x,y)?(2x?1)e2x?y,且f(0,y)?y?1,Lt?x是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线，计算曲线积分I(t)??f(x,y)?f(x,y)dx?dy，并?Lt?x?y求I(t)的最小值
（18）设有界区域?由平面2x?y?2z?2与三个坐标平面围成，?为?整个表面的外侧，计算曲面积分I????x?2?1dydz?2ydzdx?3zdxdy
?（19）（本题满分10分）已知函数f(x)可导，且f(0)?1，0?f'(x)?满足xn?1?f(xn)(n?1,2...)，证明： （I）级数
1，设数列?xn?2?(xn?1?n?1?xn)绝对收敛；
（II）limxn存在，且0?limxn?2.
n??n???1?1?1??2???a1?,B??1（20）（本题满分11分）设矩阵A??2??11a???a?1???当a为何值时，方程AX?B无解、有唯一解、有无穷多解？
2??a? ?2???0?11???（21）（本题满分11分）已知矩阵A??2?30?
?000???（I）求A
（II）设3阶矩阵B?(?,?2,?3)满足B?BA，记B100?(?1,?2,?3)将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组合。
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?上服从均匀分布，令
299??x,y?0?x?1,x2?y?x??1,X?YU??
?0,X?Y
（I）写出(X,Y)的概率密度；
（II）问U与X是否相互独立？并说明理由； （III）求Z?U?X的分布函数F(z).
?3x2,0?x???（23）设总体X的概率密度为f?x,?????3，其中???0，???为未知参数，
?0,其他?X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本，令T?max?X1,X2,X3?。
（1）求T的概率密度
（2）确定a，使得aT为?的无偏估计
参考答案：
2016考研数学一真题及答案解析(完整版)
