五、解答题
23．如图，一架梯子的长度为25米，斜靠在墙上，梯子低部离墙底端为7米． （1）这个梯子顶端离地面有 24 米；
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
【考点】勾股定理的应用． 【专题】计算题．
【分析】在直角三角形中，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求出另一条直角边；根据求得的数值减去下滑的4米即可求得新直角三角形中直角边，根据梯子长度不变的等量关系即可解题． 【解答】解：（1）水平方向为7米，且梯子长度为25米， 则在梯子与底面、墙面构成的直角三角形中， 梯子顶端与地面距离为故答案为24；
（2）设梯子的底部在水平方向滑动了x米 则（24﹣4）2+（7+x）2=252 （7+x）2=252﹣202=225 ∴7+x=15 x=8
答：梯子在水平方向移动了8米．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理的巧妙运用，本题中找到梯子长度不变的等量关系是解题的关键．
24．一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少cm？
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=24，
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【解答】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=如图2所示，∵
＜4
，
cm． cm，
cm；
∴蚂蚁所行的最短路线为
【点评】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是关键． 六、解答题
25．如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P开始从点A开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，他们同时出发，设运动时间我t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；
（3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？
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【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】动点型．
【分析】（1）求出AP、BP、BQ，根据勾股定理求出PQ即可．
（2）根据等腰直角三角形得出BP=BQ，代入得出方程，求出方程的解即可． （3）根据周长相等得出10+t+（6﹣2t）=8﹣t+2t，求出即可． 【解答】解：（1）∵出发2秒后AP=2cm， ∴BP=8﹣2=6（cm）， BQ=2×2=4（cm），
在RT△PQB中，由勾股定理得：PQ=即出发2秒后，求PQ的长为2
（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形， AP=t，BP=AB﹣AP=8﹣t；BQ=2t 由PB=BQ得：8﹣t=2t 解得t=（秒），
即出发秒后第一次形成等腰三角形．
（3）Rt△ABC中由勾股定理得：AC=
∵AP=t，BP=AB﹣AP=8﹣t，BQ=2t，QC=6﹣2t，
又∵线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分， ∴由周长相等得：AC+AP+QC=PB+BQ 10+t+（6﹣2t）=8﹣t+2t 解得t=4（s）
即从出发4秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分．
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（cm）
cm．
=10（cm）；
【点评】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理的应用，用了方程思想．
26．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题；数形结合；转化思想．
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AM⊥BC，则M是DG的中点，
在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【解答】解：（1）A城受到这次台风的影响， 理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AB=600km，则AM=300km， 因为300＜500，所以A城要受台风影响；
（2）设BC上点D，DA=500千米，则还有一点G，有 AG=500千米．
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM， 在Rt△ADM中，DA=500千米，AM=300千米，
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由勾股定理得，MD=则DG=2DM=800千米，
=400（千米），
遭受台风影响的时间是：t=800÷200=4（小时）， 答：A城遭受这次台风影响时间为4小时．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离及速度与时间的关系等，构造出直角三角形是解题关键．
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八年级下册第一次月考数学试卷（解析版）(43)
