?1??3???3?(1?c?ctg?)?sin??C?[e??tan??tan2(45o??)?1]?ctg?pu极限平衡条件： 222设M点已经达到极限平衡状，则M点处的大、小主应力应满足极限平衡关系式，将前述的大、小主应力计算式代???tan?2oN?[e?tan(45?)?1]?ctg?c入极限平衡关系式，有： 2 p??m?dp??m?d ?sin2???(?(2????m?d???Z)?sin??c?cos??? p??m?dsin2???mc即： Z?(?2??)??d? ? ? ? sin ? ? ? ? tan ——塑性区边界方程 ? 求Z的最大值 得驻点：cos2.?=sin? 2?=?/2-?, p???d??c 令Zmax=0 p=pcr。 ???2? ? ? ( c ? ctg ? ? ? m ? d ) ? ? 令Zmax=b/4 p=p1/4 p?? dcrZmax?m(ctg????)?m?d???tan? ctg???2??m1??(c?ctg?????b??m?d)4 p??m?d1/4?? ctg????计算时?必须取弧度，即将乘以?/180。此写法难以记忆，将其变化成下式： 2 ?????ctg?
p1/4????b?(1?)??m?d????
4?(ctg????)ctg????ctg????令 222???ctg? ?Nr?N?N?1?cd??? 4?(ctg????)ctg????ctg????222Nr、Nd、Nc称为承载力系数，是土内摩擦角f的函数，可由内摩擦角f查表求得。则：
?c1/4r dmc浅基础地基的极限荷载
一、求解极限承载力的两种途径：
1.按照极限平衡理论求解——根据极限平衡理论，假定地基土是刚塑体，计算土中各点达到极限平衡时的应力及滑动面方向，由此解得基底极限荷载。它属于纯理论解；由于数学原因，只有在简单的边界条件下，才有解析解。 2.按照假定滑动面方法求解——先假定在极限荷载作用下时土中滑动面的形状，然后根据滑动土体的静力平衡条件求解极限荷载。它属于半理论、半经验解，这类解在实际中应用较多，其极限荷载公式也有很多个，但公认完美的公式目前还没有。 二、普朗德尔解
普朗德尔按极限平衡理论求解。他将一个光滑的条形基础置于地表面，如图所示：计算出的滑动面形状如图所示，它由区三个平衡组成。
tanⅠ区：主动朗肯区基底无摩擦，基底平面是大主应力作用面，
两组滑动面与基底平面（水平面）成45o+f/2角，随基础下沉，Ⅰ区向两侧挤压。
Ⅲ 区：被动朗肯区，滑动面也为两组平面，与地表面成 45o-?/2角；
p?N???b?N???d?N?ceⅡ区：中间过渡区，滑动面分为二组，AD为辐射线，CD 为对数螺线，其方程为?= ?0 e?tan?。假定土体自重等于零时，利用极限平衡关系式、解微分方程、推导后得：
r q c 则 puq=Nc.C前面的推导；是在基础无埋深的条件下进行的，实际的基础都有一定的埋深，将埋深范围内的土tan重换算成等效均布旁侧荷载q=?m?d 1?m ——埋深范围内土体加权平均重度，N?2?(N?1)?tan?N?(N?1)?ctg?ekN/m 2pu3??Nr???b?Sr?dr?ir?Nq??m?d?Sq?dq?iq?Nc?c?Sc?dc?icd----基础埋深，m 推导后得： 天然地面 令： ? pu?e??tan??tan2(45o?)??m?d2 ? Nq?e??tan??tan2(45o?)2 tan tan q=mdd 天然地面则pu=Nq ?m?d ——普朗德尔-------雷斯诺解 此即为均布旁侧荷载对承载力的贡献。将?m?d 和c的贡献叠加，得?m?d和c共同作用下土的极限承载力，即： pu=Nc.C+Nq ?m?d 该式同样没有考虑土体自重g的影响， 即仍认为?=0。显然与实际不符，若考虑?的影响，则ee过渡区（Ⅱ区）的滑动面将不再是对数螺旋线了，滑动面形状极为复杂，很难用极限平衡理论求得解析解，只能用数值方法近视计算。 二、太沙基解
太沙基从实用角度出发，认为只要L/b≥5，d≤b就可以认为是条形浅基础，基础埋深范围内的土重可以用均布旁侧荷载q=?m?d来代替。假定基底粗糙，具有很大的摩擦力，基底下仍然分成三个区， Ⅱ、Ⅲ 区同普朗德尔解一样分为过渡区和被动朗肯区， Ⅲ 区滑动面也为两组平面，与地表面成45o--?/2角。 Ⅱ区滑动面为对数螺旋线（注意：考虑自重时，滑动面不再是对数螺旋线，因无法求解，太沙基假设其仍为对数螺旋线）； Ⅰ区由于基底摩擦力的作用而成为弹性压密区，随基底一起向下移动，其滑动面与水平面成f角（普朗德尔解假设成45o+?/2角）。推导后得极限承载力
其中： 1 pu??Nr???b?Nq??m?d?Nc?c 2 3 —太沙基承载力系数。 (????)?tan?e2三、魏西克（Vesi'c）解 Nq?cq ?2o12?cos(45?) N r ? ? tan ? ? ( K r ? 1 ) 其中： ?tan?22 1 ——魏西克承载力系数。 p ? ? Nur???b?Nq??m?d?Nc?c2 ??tan?2oN?e?tan(45?)q考虑基础形状、埋深和荷载倾斜的影响后对上式进行修正： N?(N?1)?ctg??2i
Sq 、 S S c ——基础形状影响因数 r 、 d r、 q 、 c ——基础埋深影响因数
r、 q 、 c ——荷载倾斜因数 五、汉森（B.Hanson）解
1?Nr???b?Nq??m?d?Nc?cNq?e??tan??tan2(45o??) pu?22
???tan?2oN?[e?tan(45?)?1]?ctg?Nr?1.8?(Nq?1)?tanc
2
考虑基础形状、埋深和荷载倾斜的影响后对上式进行修正： 1p??Nr???b?Sr?dr?ir?Nq??m?d?Sq?dq?iq?Nc?c?Sc?dc?icu
2 S r 、 S q 、 S c ——基础形状影响因数 ——基础埋深影响因数 r 、 q 、 c
、 rq 、 c ——荷载倾斜因数
六、地基容许承载力及容许承载力的深、宽修正
地基容许承载力是指在建筑物荷载作用下，能够保证地基不发生失稳破坏、同时也不产生建筑物所不允许的变形时的最大基底压力。
地基承载力仅与土的强度有关，随土体强度的增加而增加；而地基的允许承载力则不然，它的大小不仅与土体性质有关，而且还取决于建筑物或构筑物对变形的敏感程度及建筑物或构筑物的重要性；
一般可通过载荷试验、统计数据、经验或理论公式等确定。当确定中没有考虑深、宽影响时，应进行深、宽修正。 《公路桥涵地基基础设计规范》
o1122
《建筑地基基础设计规范》
fa?fak?b??(b?3)?d?m?(d?0.5)
k1、 k2 、 ηd 、ηb ——与土的类别及所处状态有关的地基承载力深、宽修正系数，查表 γ1、γ——基底下持力层土容重，地下水位以下取浮容重。
γ2、γm——基底以上土容重，地下水位以下取浮容重。多层土时，取按土层厚度加权的平均容重。
h、d——基础的埋置深度，m；b——基础底面宽度，m；[σo]——未经深、宽修正的地基承载力允许值，kPa； [σ]——按设计的基础宽度和埋深修正后地基承载力允许值，kPa；fak——修正前的地基承载力特征值，kPa ； fa——修正后的地基承载力特征值，kPa ； 原则：取正不取负
o1122b<2m，取b=2m；h<3m，取h=3m；b>10m，取b=10m；
f ak??? f a ? ? ? b ? ( b ? 3 ) ? d ? ? m ? ( d ? 0 . 5 ) b<3m，取b=3m，b>6m，取b=6m；d<0.5m，取d=0.5m。
在这里，土的承载力是抗力，随埋深d或h的增加，土的承载力是逐渐提高的，工程应用时，应按不利原则考虑，因此应取各种情况下d或h的较小值。
如现行的中华人民共和国国家标准《建筑地基基础设计规范》（GB 50002——2002）规定： d——基础埋置深度（ m），一般自室外地面标高算起。在填方整平地区，可自填土地面标高算起，但填土在上部结构施工后完成时，应从天然地面标高算起。对于地下室，如采用箱形基础或筏形基础时，基础埋置深度自室外地面
ddiii?dddii[?]?[?]?k???(b?2)?k???(h?3)????[?]?[?]?k???(b?2)?k???(h?3)标高算起；当采用独立基础或条形基础时，应从室内地面标高算起。 天然地面粘=17kN/m土c1=10kPaN=1400kN/m4.0m2.0m粗=19kN/m砂sat很C2=0=18kN/m厚地下水位面例：某条形基础埋深6m，承受竖向总荷载N=1400kN/m，地基条件如图所示，基础两侧埋深分别为6.0m和6.6m，
试根据太沙基承载力公式计算地基的极限承载力；若取安全系数为2，试验算地基承载力是否满足要求(即地基容许承载力是否大于基底压力)。（提示：太沙基极限承载力公式，其中Nc = 17，Nq = 7，Nr = 3） ?i?hi17*4?18*21?m ???17.33(kN/m3)pu??Nr???b?Nq??m?d?Nc?chi4?22 1 1?*3*(19?10)*4.5?7*17.33*(4?2)?17*0[? ]?*788.61?394.31(kPa)22 ?788.61(kPa)N1400 p???311.11(kPa) F4.5<[σ]=394.31(kPa)满足要求。
??本笔记由：
河南理工大学 土木工程专业 08级（工民建方向）
纳什均衡 整理
QQ：774210788
土力学复习完美笔记----珍藏打印版
