高中数学竞赛平面几何基本定理

由天下分享时间：2024/12/5 11:00:26 加入收藏我要投稿点赞

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边

和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2．射影定理（欧几里得定理）

3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有AB中线长：ma?2b?2c?a222222?AC2?2(AP22?BP)；

． ?AD24．垂线定理：AB?CD?AC高线长：ha?2a?BC22?BD．

p(p?a)(p?b)(p?c)?bcasinA?csinB?bsinC．

5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，则

2b?c?2BDDC?ABAC；（外角平分线定理）．

A2角平分线长：ta?6．正弦定理：

asinA2bcp(p?a)?csinC2bcb?ccos（其中p为周长一半）．

bsinB2?（其中R为三角形外接圆半径）． ?2R，

7．余弦定理：c?a?b?2abcosC．

8．张角定理：sin?BAC? sin?BAD?sin?DAC．

ADACAB9．斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝

BC·DC·BD．

10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．

12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）

13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延

长线必平分对边．

14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P

任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．

15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成

立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM． 17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角

形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．

18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE

＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．

19．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以

及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．

20．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．

21．欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr． 22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．

23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；G(xA?xB?xC,yA?yB?yC)

33重心性质：（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则AG:GD?2:1；

（2）设G为△ABC的重心，则S?ABG?S?BCG?S?ACG?13S?ABC；

（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，交BC

于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则（4）设G为△ABC的重心，则

①BC②GA③PA2DEBC?FPCA?KHAB?2DEFPKH;???2； 3BCCAAB?3GA?GB22?CA?3GB222?AB22?3GC；

222?GC?13(AB2?BC2?CA)；

222?PB2?PC2?GA?GB?GC； ?3PG（P为△ABC内任意一点）

22④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA?GB2?GC2最小；

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心）．

axA?bxB?cxC,acosAyA?byB?cyC24．垂心：三角形的三条高线的交点；H(cosAcosBcosCabc??cosAcosBcosCcosBcosCabc??cosAcosBcosC)

垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；

（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；

（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；

（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO??HCA．

25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；

I(axA?bxB?cxCa?b?c,ayA?byB?cyCa?b?c)

内心性质：（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；

（2）设I为△ABC的内心，则?BIC?90??12?A,?AIC?90??12?B,?AIB?90??12?C；

（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若?A平分线交△ABC

外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC的内心；

（4）设I为△ABC的内心，BC?a,AC?b,AB?c, ?A平分线交BC于D，交△ABC外接圆于点K，则

AIID?AKKI?IKKD?b?ca；

（5）设I为△ABC的内心，BC?a,AC?b,AB?c,I在BC,AC,AB上的射影分别为D,E,F，内切圆半径为r，

令p?(a?b?c)，则①S?ABC?pr；②AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c；③2abcr?p?AI?BI?CI．

sin2AxA?sin2BxB?sin2CxCsin2A?sin2B?sin2Csin2Ay?sin2ByB?sin2CyC126．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

O(,Asin2A?sin2B?sin2C)

外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；

（2）设O为△ABC的外心，则?BOC?2?A或?BOC?360??2?A；

（3）R?abc；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．

4S?27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC的三边BC?a,AC?b,AB?c,令

p?12(a?b?c)，分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切圆圆心记为IA,IB,IC，其半径分别记为rA,rB,rC．

12?A,?BIBC??BICC?12； ?A,（对于顶角B，C也有类似的式子）

旁心性质：（1）?BIAC?90??（2）?IAIBIC?（3）设AI12(?A??C)；

； ?DB?DC（对于BIB,CIC有同样的结论）

A的连线交△ABC的外接圆于D，则DIA（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圆半径R'等于△ABC的直径为2R． 28．三角形面积公式：S?ABC?12aha?12absinC?abc4R?2RsinAsinBsinC?2a2?b2?c2

4(cotA?cotB?cotC)12?pr?其中ha表示BC边上的高，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p?p(p?a)(p?b)(p?c)，

(a?b?c)．

29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：

r?4Rsin r?atanA2rB2sinB2C2sinC2;ra?4RsinrtanA2tanC2A2cosB2cosrC2,rb?4Rcos;1ra?1rb?A2sin?B2cosC2,rc?4RcosA2cosB2sinC2;,rb?,rc?tan1rctanA2tanB21 .r30．梅涅劳斯（Menelaus）定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分

别为P、Q、R则有

BPPC?CQQA?ARRB?1．（逆定理也成立）

31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线

交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．

32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延

长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．

33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充

AZBXCY

要条件是··=1．

ZBXCYA

34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，

则AS一定过边BC的中点M． 35．塞瓦定理的逆定理：（略）

36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线

交于一点．

37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交

于一点．

38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别

是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）． 39．西摩松定理的逆定理：（略）

40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上． 41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角

形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．

42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心． 43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条

（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．

44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个

四边形的牛顿线．

45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．

46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一

点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．

47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交

于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．

48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧

AP+弧BQ+弧CR=0(mod2?) ．

49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，

则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．

50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的

垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．

51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩

松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．

52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、

AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．

53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，

与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．

54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在

△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，

则D、E、F三点共线．

55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、

V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线． 56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，

这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点） 57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4

个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．

58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心． 59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点． 60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．

61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、

△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．

62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、

L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．

63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、

DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．

64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．

65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一

个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．

66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点．

67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点

共线．