第二章 变化率与导数(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
5
1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝t，则质点在t＝4时的速度为( )
11A. B.
535322102C.253
2 5
153
D.2 10
2．若Δlim x→0
fx0＋2Δx－fx0
＝1，则f′(x0)等于( )
3Δx23
A. B. C．3 D．2 32
3．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 4．设y＝f(sin x)是可导函数，则y′x等于( )
A．f′(sin x) B．f′(sin x)·cos x C．f′(sin x)·sin x D．f′(cos x)·cos x 5．函数y＝sin x－cos x的导数是( ) A．cos x＋sin x B．cos x－sin x C．cos xsin x D．2cos x 6．函数y＝
x2
x＋3
的导数是( )
x2＋6xx2＋6xA. B.
x＋32x＋3
2
－2x3x＋6xC. D. x＋32x＋325x7．函数y＝xa (a>0且a≠1)的导数是( )
4x4x5xA．5xaln a B．5xa＋xaln a
4x5x4x5xC．5xa＋xa D．5xa＋xalogae
8．下列求导数运算正确的是( )
1?1?A.?x＋?′＝1＋2 ?x?
x1
xln 2
xxC．(3)′＝3log3e
2
D．(xcos x)′＝－2xsin x
9．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)－g(x)为常数函数 C．f(x)＝g(x)＝0
D．f(x)＋g(x)为常数函数
32
10．函数f(x)＝ax＋3x＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( ) 19161310A. B. C. D. 3333
B．(log2x)′＝
1
11．下面四组函数中，导数相等的一组是( ) A．f(x)＝2x＋1与g(x)＝2x－1
B．f(x)＝sin x－cos x与g(x)＝cos x－sin x C．f(x)＝x－1与g(x)＝2－x
D．f(x)＝sin x＋cos x与g(x)＝sin x－cos x
12s1＋Δt－s1
12．物体自由落体运动方程为s(t)＝gt，g＝9.8 m/s2，若Δlim t→02Δt＝9.8 m/s，那么下面说法正确的是( )
A．9.8 m/s是0～1 s这段时间内的平均速度
B．9.8 m/s是从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的速度 C．9.8 m/s是物体在t＝1这一时刻的速度
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的平均速度 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
32
13．函数f(x)＝2x＋3x－5x＋4的导数f′(x)＝______________，f′(3)＝________.
3
14．已知曲线S：y＝3x－x及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为________．
3??π
15．曲线y＝f(x)＝cos x在点A?，?处的切线方程为________________．
?62?
4
16．函数f(x)＝(2x＋5)在点P(－2,1)处的导数是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)求下列函数的导数．
26
(1)y＝x(x＋2)； (2)y＝xsin 2xcos 2x.
432
18．(12分)已知函数y＝x＋ax－a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的值．
3
432
19.(12分)已知曲线C：y＝3x－2x－9x＋4. (1)求曲线C在点(1，－4)处的切线方程；
(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由．
2
20．(12分)若f(x)＝log3(x－1)，求x＝2处的导数值及切线方程．
32
21.(12分)已知函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d的图像经过P(0,2)且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数y＝f(x)的解析式．
22．(12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
2
(2)f′(x)是一次函数，xf′(x)－(2x－1)·f(x)＝1. 答案
1
1．B [s′＝.
545t111
当t＝4时，s′＝·＝.]
55534
4102
2．B
3．D [当自变量的改变是Δx时，函数的改变量为f(x0＋Δx)－f(x0)．] 4．B
5．A [y′＝(sin x－cos x)′＝cos x－(－sin x)＝cos x＋sin x．]
2
x2?2xx＋3－xx2＋6x?6．A [y′＝?＝.] ?′＝
x＋32x＋32?x＋3?
3
7．B [y′＝(xa)′＝5xa＋xaln a．]
1?1?xx8．B [?x＋?′＝1－2，(3)′＝3ln 3，
5x4x5x?x?
x(xcos x)′＝2xcos x－xsin x．]
9．B [f(x)与g(x)的导数相同，根据导数公式和导数运算法则，两函数的差为常数．]
22
10．D [f′(x)＝3ax2
＋6x，因f′(－1)＝4，
所以有f′(－1)＝3a(－1)2
＋6×(－1)＝4，
则a＝103
.] 11．A 12.C
13．6x2
＋6x－5 67
解析 f′(x)＝(2x3＋3x2－5x＋4)′＝6x2
＋6x－5， f′(3)＝6×32＋6×3－5＝67. 14．3
15．x＋2y－3－π
6
＝0
解析 ∵f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，
∴f′(ππ16)＝－sin 6＝－2
，
∴在点A处的切线方程为
y－32＝－1?2??
x－π6???，
即x＋2y－3－π
6
＝0.
16．8
解析 f′(x)＝[(2x＋5)4]′＝4(2x＋5)3×2＝8(2x＋5)3
， f′(－2)＝8(－2×2＋5)3＝8.
17．解 (1)y′＝[x2(x＋2)6
]′
＝2x·(x＋2)6＋x2·6(x＋2)5
＝4x(x＋2)5
(2x＋1)．
(2)y＝xsin 2xcos 2x＝1
2
xsin 4x.
∴y＝??1?2xsin 4x???′ ＝12sin 4x＋x2cos 4x·4 ＝1
2
sin 4x＋2xcos 4x. 18．解 y′＝3x2
＋2ax，令y′＝0，
则3x2
＋2ax＝0，x21＝0，x2＝－3
a，
当x＝0时，y＝0＝－4
3
a，
∴a＝0，即a＝0满足条件，
当x＝－23a时，y＝0＝－83434
27a＋9a－3
a，
得a＝0或a＝±3，检验知a＝±3不满足条件， ∴常数a的值为0.
4
19．解 (1)y′＝12x3－6x2
－18x， ∴f′(1)＝－12.
所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求方程为y＋4＝－12(x－1)， 即y＝－12x＋8.
(2)设与曲线C还有其他公共点，
4
3
2
于是有???
y＝3x－2x－9x＋4?，
?y＝－12x＋8
整理得x3
(3x－2)－(3x－2)2
＝0，
即(3x－2)(x3
－3x＋2)＝0，
即(x＋2)(3x－2)(x－1)2
＝0.
所以x＝－2，x＝2
3
，x＝1.
即除切点外还有交点(－2,32)和??2?3，0???
. 20．解 据复合函数的求导法则， f′(x)＝[log3(x－1)]′
＝1x－1ln 3(x－1)′＝1
x－1ln 3
，
则f′(2)＝11
2－1·ln 3＝ln 3
，
即此点处的切线斜率为1
ln 3，切点(2,0)，
则切线方程为y＝1
ln 3
(x－2)．
21．解 由f(x)的图像经过P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2
＋cx＋2， f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程是 6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，
即f(－1)＝1，f′(－1)＝6. ∴???3－2b＋c＝6 ??2b－??－1＋b－c＋2＝1，即?c＝－3?
，?b－c＝0解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是
f(x)＝x3－3x2－3x＋2. 22．解 (1)依题意可设
f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2
＋2bx＋c. 由f(0)＝3，得d＝3. 由f′(0)＝0，得c＝0.
由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组
???
3a＋2b＝－3，?12a解得?
?
＋4b＝0，
??a＝1，
?
?
b＝－3.
所以f(x)＝x3
－3x2
＋3.
(2)由f′(x)为一次函数知f(x)为二次函数．
则可设f(x)＝ax2
＋bx＋c(a≠0)，
5
高中数学 第二章 变化率与导数章末检测(A)北师大版选修22
