押第11题 抛物线
抛物线是高考全国卷每年必考知识点,可以是客观题，也可以是解答题，可以是基础题,也可以是难题，客观题中的基础题多考查抛物线的方程与几何性质，客观题中的难题一般考查最值与范围问题及直线与抛物线的位置关系，预测2021年在客观题中考查难题的可能性比较大.
1.抛物线的方程
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
2. 与抛物线有关的最值问题
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
3. 直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． 4.抛物线中常用的性质
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 p2
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
4
2p
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2(α为弦AB的倾斜角)．
sinα(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
1.（2020年高考全国Ⅰ卷理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|?xA?故选C.
2.（2020年高考全国Ⅲ卷理）设O为坐标原点，直线x?2与抛物线C：y2?2px(p?0)点，若OD?OE，则C的焦点坐标为（ ） A. ?交于D，E两
B. 3
C. 6
D. 9
pp?12，即12?9?，解得p226.
?1?,0? 4??B. ?,0?
?1?2??C. (1,0) D. (2,0)
【答案】B
【解析】因为直线x?2与抛物线y?2px(p?0)交于E,D两点，且OD?OE， 根据抛物线的对称性可以确定?DOx??EOx?所以其焦点坐标为(,0)，故选B.
2?4，所以D?2,2?，代入抛物线方程4?4p，求得p?1，
123.（2019年高考全国II卷理）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆焦点，则p=
A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D
x23p?y2p?1的一个
?p?【解析】由题意可得：3p?p???，解得p?8．故选D． ?2?4.（2018年高考全国Ⅰ卷理）设抛物线C：y?4x的焦点为F，过点(?2,0)且斜率为
222的直线与C交于 3M，N两点，则FM?FN=
A．5 【答案】D
B．6
C．7
D．8
2?22?y?(x?2)【解析】通解 过点(?2,0)且斜率为的直线的方程为y?(x?2)，由?，得3332??y?4x?x?1?x?4x2?5x?4?0，解得x?1或x?4，所以?，或?，不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，
?y?2?y?4所以FM?(0,2)，FN?(3,4)，所以FM?FN?8．故选D．
21．（2021. 江西省上饶市高三第一次模拟）已知F为抛物线C:y?4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若AB?6，则线段AB的中点M到抛物线C的准线的距离为（ ） A．3 【答案】A
【解析 】分别过A，M，B作准线的垂线，垂足分别为A1，M1，B1
B．4
C．5
D．6
则MM1?AA1?BB12?AB2?3，故选A
2．（2021. 东北三省四市高三质量监测）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C：y2?x，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A?5,2?，被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则Q点的坐标为（ ） A．??11?,?? 42??B．?,?
?1?81?? 4?C．?1??1,?? ?164?D．?1??1,?? ?648?
押第11题 抛物线-备战2021年高考数学(理)临考题号押题(全国卷1)(解析版)
