2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其
运算学案新人教A版选修2-1
【学习目标】了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减运算及数乘运算法则，能够正确应用空
间向量的加法交换律、加法结合律及数乘的分配律进行运算。
【本课重点】空间向量的概念及加法、减法、数乘运算 【本课难点】空间向量的理解和运算 【教学过程】 一、知识要点： 1．空间向量的概念
在空间，具有大小和方向的量叫 ；向量的大小叫做向量的 或 ，记为 ；长度为零的向量叫做 ，记为 ；模为1的向量称为 ；
方向相 且模相等的向量称为相等向量； 方向相 且模相等的向量称为相反向量； 2．空间向量与平面向量
空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。空间任意三个向量呢？ 3．向量的加、减运算法则及数乘运算法则 4．向量的加法及数乘运算律：
加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： 数乘结合律： 二、应用举例： 例1．化简下列各式：
（1）AB+BA； （2）AB+BC+CD； （3）AB+BC+CD+DE+EA
归纳结论：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1AnA1A2?A2A3?A3A4???AnA1?0例2．已知平行六面体ABCD-A?B?C?D?,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： （1）AB+BC； （2）AB+AD+AA?；
（3） AB+AD+
例3．已知正方体ABCD-A?B?C?D?，点E是上底面A?B?C?D?的中心，求下列各式中x,y,z的值。 （1）BD?=xAD+yAB+zAA?；（2）AE=xAD+yAB+zAA?.
【课堂练习】
1．已知空间四边ABCD,连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各式，并标出化简结果的向量。（1）AB+BC+CD； （2）AB+
2．已知正方体ABCD-A?B?C?D?，点E，F分别是上底面A?C?和侧面CD?的中心，求下列各题中x,y的值。
（1）AC?=x(AB+BC)+yCC?；（2）AE=AA?+xAB+yAD；（3）AF=AD+xAB+yAA?
【课堂小结】向量的加法可以用平行四边法则也可以用三角形法则，空间向量的加法与数乘向量的运算满足的运算律是：加法交换律，加法结合律，数乘分配律。
3．1空间向量及其运算（第 2 课时）
（共线向量与共面向量）
11CC?； （4）(AB?AD?AA?) 2311(BD+BC)；（3）AG--(AB+AC) 22【学习目标】了解共线与共面向量的概念，掌握其表示方法；理解共线（共面）向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关问题．
【本课重点】空间直线向量参数方程，点在已知平面内的充要条件。 教学过程： 一、问题探究：
??问题1：回顾平面向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？对照教
??材思考，在空间，什么叫平行向量或共线向量？向量b与非零向量a共线的充要条件是什么？
问题2：什么叫向量与平面平行，向量与平面平行与直线与平面平行有何区别与联系？
问题3：什么叫共面向量？空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？如何运用向量的方法证明四点共面？ 二、要点归纳：
将对以上问题的思考填入下表： 定义 定理 共线向量 共面向量 推论 运用 三、应用举例： 例1．如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点， 分别用OA、OB表示OC、OD.
例2．已知四边行ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF=
A C D B O 22CB；CG=CD，求证：四边形EFGH是梯形。 33
例3．如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 OOA?=kOA；OB?=kOB，OC?=kOC，OD?=kOD,
DCB求证：四点A?，B?，C?，D?共面。
AD'C'B'
A'【课堂练习】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，点M是否与A，B，C一定共面：（1）OM=
3．1 空间向量及其运算（第 3 课时）
（空间向量的数量积运算）
【学习目标】掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题，如垂直问题、长度问题及夹角问题。
【本课重点】两个向量的数量积的计算方法及其应用。 【本课难点】向量运算在几何证明与计算中的应用． 【教学过程】 一、知识要点：
1．两个向量夹角的范围是 ； 2．两个向量数量积的定义： ；
111（2）OM=2OA-OB-OC OA+OB+OC；
3333．空间向量数量积满足的运算律： ； 4．两个向量垂直的充要件是 ； 5．向量的模的计算方法是 ； 6．两个向量的夹角公式是 ； 二、应用举例：
例1．已知在空间四边形OABC中，（如图）OA?BC，OB?AC，求证：OC?AB
例2．已知在平行六面体ABCD?A?B?C?D?中，AB=4，AD=3，AA??5，A B C O ?BAD?90?，?BAA???DAA??60?，求AC?的长。
【课堂练习】
A D? A? D C? B? C B 1．已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，|a - b|=3，则|a + b|=_________
2．已知线段AB，BD在平面?内，BD?AB，线段AC? ?，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C，D间的距离。
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