郑州轻工业学院
2005-2006学年第一学期高等数学 期中考试试卷
一、 是非判断题,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×（每题2分，共10分）
1、若数列{xn}收敛，数列{yn}发散，则数列{xn?yn}发散． （ ） 2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x)和limf(x)都存在． （ ）
x??x???x???3、limxsinx?011?limx?limsin?0． （ ） xx?0x?0x4、limx?1 ． （ ）
x??sinx5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)?f(b)?0，则f(x)在(a,b)内有零点． （ ）
二、填空题（每题2分，共10分）
f(3?h)?f(3)1、已知f'(3)?2, 则lim? ．
h?02h12、y???xn?arctan，则y'|x?1? ．
?3、曲线y?ex在点 __ 处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行． 4、函数y?ln[arctan(1?x)]，则dy? ．
5、x?0时，1?cosx是x的 阶无穷小．
三、单项选择题（每题2分，共10分） 1、数列有界是数列收敛的 ( )． (A) 充分条件；（B）必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件． 2、 f(x)在x?x0处有定义是limf(x)存在的 ( )
x?x0(A) 充分条件；（B）必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件．
(x?1)2x?1,g(x)?3、若函数f(x)?2，则（ ） x?1x+1(A) f(x)?g(x)； （B）limf(x)?g(x)；
x?1(C) limf(x)?limg(x)； (D) 以上等式都不成立．
x?1x?1 1
4、下列命题中正确的是 ( )
(A)无穷大是一个非常大的数； （B）有限个无穷大的和仍为无穷大； (C)无界变量必为无穷大； (D) 无穷大必为无界变量．
15、lim(1?)n?1000的值是 ( )
n??n(A) e； （B）e1000； (C) e?e1000； (D)其他值． 四、计算下列极限（每题6分，共18分）
ln(1?x2)；3、limxx． 1、lim(x?1?x?1) ；2、lim?x??x?0secx?cosxx?0
22五、计算下列各题（每题6分，共18分） 1 y?esin21x?x?lntd2ydy，求dy；2 ?，求；3 , 求。 x?arctany?y23dxdx?y?tx2?1六、（本题8分）判断函数y?2在x?1,x?2点处的间断点的类型，如
x?3x?2果是可去间断点，则补充或改变定义使其连续．
七、（本题8分） 验证拉格朗日中值定理对函数y?4x3?5x2?x?2在[0,1]上的正确性。
八、（本题9分） 设函数f(x)在[0,x](x?0)上连续，在(0,x)内可导，且
f(0)?0，证明在(0,x)内至少存在一点?，使得f(x)?(1??)ln(1?x)f'(?)．
九、（本题9分） 注水入深8米，上顶直径为8米的正圆锥行容器中，其速度为4米3/分，当水深为5米时，其表面上升的速度是多少？．
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2005-2006学年第一学期高等数学试卷A
试卷号：A20060108（1）
一、是非判断题,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×（每题2分，共10分）
1、f(x)在x0有定义，且limf(x)?f(x0)，则f(x)在x0在连续． （ ）
x?x02、f'(x0)?[f(x0)]'． （ ） 3、若x0是f(x)的极值点，则必有f'(x0)?0． （ ） 4、(?f(x)dx)'??f'(x)dx ． （ ）
15、?sin2xdx?sin3x?c． （ ）
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二、填空题（每题3分，共15分）
f(x)1、lim?A，其中f(0)?0且f'(0)存在，则A? ．
x?0x2、y?x3?2x?1在(??,?)内有 个零点． 3、limln(3x?1)? ．
x?06x4、函数f(x)?x3?2x?1在区间 单调增加． 5、?sin2xdx? ．
1?sin2x
三、单项选择题（每题3分，共15分） 1、数列极限limn[ln(n?1)?lnn]? ( )．
n??(A) 1； （B）-1； (C)?； (D)不存在但非?．
2、F(x)和G(x)是f(x)函数的任意两个原函数，则下式成立的是 ( ) (A)F(x)?cG(x)；（B）F(x)?G(x)?c；(C) F(x)?G(x)?c； (D) F(x)G(x)?c． 3、函数f(x)的n阶（n?2）泰勒公式中(x?x0)2项的系数是 ( ) (A)
f''(x0)f''(?)1,?在x与x0之间． ；（B）； (C)f''(x0)； (D)
2!2!2! 3
?tankx?,x?04、设函数f(x)??x, 若f(x)在x?0处连续，则k的值是 ( )
??x?2,x?0(A) 1； （B）-1； (C) 2； (D) -2． 5、曲线y?(x?1)3?1的拐点是 ( )
(A) (1,?1)； （B）(2,0)； (C) (0,?2)； (D)不存在． 四、解答题（每题5分，共30分）
111、求极限：lim[?2ln(1?x)] ．
x?0xx
2、设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?2006),求f'(0)． 3、求方程xy?ex?y所确定的隐函数的导数
dy． dxx2?14、写出函数y?2的连续区间，如果有间断点，指出间断点的类型．
x?3x?25、计算不定积分?(1?sinx)3cosxdx ． 6、计算不定积分?exdx．
1???(x)sin,x?0五、（本题满分8分）设函数f(x)??.，其中x?0,x?0??(x)?o(x)(x?0)，证明f(x)在x?0处可导并求f'(0)．
x2六、（本题满分8分）证明：当x?0时，ln(1?x)?x?．
2七、（本题满分8分） 要造一个圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
八、（本题满分6分） 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0，证明在(0,1)内至少存在一点?，使得2f(?)??f'(?)?0．
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高等数学期中考试试卷及答案
