正多边形的有关计算
教学设计示例1 教学目标： （1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题； （2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力； （3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新． 教学重点: 把问题转化为解直角三角形的问题． 教学难点: 正确地将问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算． 教学活动设计: （一）创设情境、观察、分析、归纳结论 1、情境一：给出图形． 问题1：正n边形内角的规律． 观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论． 教师组织学生自主观察，学生回答．（正n边形的每个内角都等于 ．） 2、情境二：给出图形． 问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？ 教师引导学生观察，学生回答． 观察：三角形的形状，三角形的个数． 归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形． 3、情境三：给出图形． 问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？ 观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直
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角三角形，这些直角三角形也是全等的． （二）定理、理解、应用： 1、定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形． 2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化． 由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题． 3、应用： 例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6． 教师引导学生分析解题思路： n=6 =30°，又半径为R a6 、r6． P6、S6． 学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力． 解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB． ∵∠GOB=， ∴a6 =2·Rsin30°=R， ∴P6=6·a6=6R， ∵r6=Rcos30°=， ∴ ． 归纳：如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6=Pn rn． 4、研究：（应用例1的方法进一步研究） 问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积． 学生以小组进行研究，并初步归纳： ； ； ； ； ； ． 上述公式是运用解直角三角形的方法得到的． 通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全
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确定了．例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素． （三）小节 知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题． 思想：转化思想． 能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力． （四）作业 归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式． 第 1 2 页
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正多边形的有关计算_1
