第八讲：类比探究（三）——探究应用（讲义）
? 知识点睛
1. 类比探究问题往往会在发现不变结构后，应用不变结构去解决新的问题．此时需要
先探索分析新问题，在探索过程中，将新问题与不变结构的特征进行对比，寻求“相同”特征．在“相同”特征基础上，构造不变结构来解决问题． 备注：图形不完整时，往往会有多种情形．
? 精讲精练
1. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，
AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【来源：21·世 特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=22时，a=_____，b=_____； 如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=________，b=________． 归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间 的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的结论． 拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点， BE⊥AC于点H，若AD=25，AB=3，求AF的长．
CCCAEHDEPFEPAFEFPB
A图1
BB图2A图3BF图4C 1
2. （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．
求证：AB2=AD·AC．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延
ABBDAF的值． ??1，求BCDCFC（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B，C重合），
长BE交AC于点F．若ABBDAF请探究并直接写出的??n，BCDCFC直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．
BADC
图1
BDEAFC
图2
BAC 备用图1 BAC 备用图2
2
3. 如图，在等边三角形ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线
DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．
（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图1，求证：CF+BE=CD．（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M）
（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图2；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图3，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明．
（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC?43，则BE=_________，CD=________．
ANBMEDF图1ACANDEBCBFNE图2
CDF
图33
4. 已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角
边作等腰直角三角形PCQ，其中 ∠PCQ=90°．探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=1?3，PA=2， 则：①PB=___________，PC=____________；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为____________．
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利 用图2给出证明过程．
（3）若动点P满足PA1PCPB?3，求
AC的值． CAPQB图1
QCABP图2
CAB图3
CAB备用图图3 4
【参考答案】
1. （1）25，25；213，27 （2）a2?b2?5c2 （3）4 2. （1）证明略
（2）2
（3）n2+n；n2-n；-n2+n 3. （1）证明略
（2）BE=CD+CF；CF=BE+CD （3）8；4或8
4. （1）①6，2；②PA2?PB2?PQ2
（2）证明略 （3）
104或102
5
2020年中考专题复习 第八讲：类比探究（三） - 探究应用（讲义）
