华南理工大学版微积
分下课件33
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第三节 幂级数
一、函数项级数的概念
函数列：（这些函数定义区间为?Skip Record If...?）
?Skip Record If...?
我们称?Skip Record If...?为函数项级数。对
于?Skip Record If...?，如果?Skip Record If...?收敛，则称?Skip Record If...?为级数?Skip Record If...?的收敛
点，部分和为?Skip Record If...?，在收敛域内有?Skip Record If...?；余项 ?Skip Record If...? 二、幂级数及其收敛性
级数?Skip Record If...?称为幂级数，记为?Skip Record If...?。 例14：?Skip Record If...?
例15：判别幂级数?Skip Record If...?的收敛性。
定理1：如果幂级数?Skip Record If...?当?Skip Record If...??Skip Record If...?时收敛，则适
合不等式?Skip Record If...?的一切?Skip Record If...?都收敛；反之如果级数?Skip Record If...?当
?Skip Record If...?时发散，则适合不等式?Skip Record If...?的一切?Skip Record If...?使幂级数发散。
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证明：1）因为?Skip Record If...?收敛，根据必要条件有?Skip Record If...?，数
列?Skip Record If...?有界，即存在常数?Skip Record If...?使得?Skip Record If...?恒成立。
?Skip Record If...?
因为?Skip Record If...?，所以级数?Skip Record If...?收敛，由比较判别法?Skip Record If...?绝 对收敛。 2）反证法。
推论：如果幂级数?Skip Record If...?不是仅在零点收敛也不是在整个实
数轴上收敛，则一定存在一个正实数?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时级数
?Skip Record If...?收敛；当?Skip Record If...?时级数?Skip Record If...?发散。
我们称?Skip Record If...?为级数?Skip Record If...?的收敛半径。称开区间?Skip Record If...?为级
数?Skip Record If...?的收敛区间，如果再判断端点的收敛情况得到的收
敛点集为级数?Skip Record If...?的收敛域。
定理2：如果?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?是幂级数?Skip Record If...?相邻
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两项的系数，则幂级数的收敛半径
?Skip Record If...?
证明：1）如果?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，
?Skip Record If...?，由比值判别法可得级数?Skip Record If...?收敛；当?Skip Record If...?时，
?Skip Record If...?，幂级数?Skip Record If...?发散。 1） 如果?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，所以对任 给的?Skip Record If...?有幂级数?Skip Record If...?收敛。 2） 如果?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，所以对 3） 任给的非零的?Skip Record If...?有幂级数?Skip Record If...?发散。
例16：判别下列幂级数的收敛半径和收敛域
1）?Skip Record If...?； 2）?Skip Record If...? 3）?Skip Record If...? 4）?Skip Record If...? 5）?Skip Record If...?
解：1）?Skip Record If...?，级数?Skip Record If...? 收敛半径为?Skip Record If...?，收敛区间为?Skip Record If...?。
因为?Skip Record If...?收敛，而?Skip Record If...?发散 收敛域为?Skip Record If...?。
2）?Skip Record If...?，级数?Skip Record If...?
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收敛半径为?Skip Record If...?，收敛域为?Skip Record If...?。 3）?Skip Record If...?，级数?Skip Record If...?
收敛半径为?Skip Record If...?，仅在?Skip Record If...?处收敛。
4）?Skip Record If...?，级数?Skip Record If...?
收敛半径为?Skip Record If...?，收敛区间为?Skip Record If...?。
当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
因为?Skip Record If...?发散，由比较判别法?Skip Record If...?发散
收敛域为?Skip Record If...?。
5）?Skip Record If...?，级数?Skip Record If...?
收敛半径为?Skip Record If...?，收敛区间为?Skip Record If...?。
当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?收敛 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?发散 收敛域为?Skip Record If...?。
注：求收敛区间时，不用考虑端点的敛散性；求收敛域 时，必须考虑端点的敛散性。 四、幂级数的分析性质及幂级数求和 三个重要性质
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