第一讲 有理数的巧算
趣题引路】
(第6届“希望杯”竞赛试题改编)计算：
2004×20032003＋2005×20042004－2003×20042004－2004×20052005
解析 原式＝2004×20032003－2003×20042004＋2005×20042004－2004×20052005
＝(2004×2003×10001－2003×2004×10001)＋(2005×2004×10001－2004×2005×10001) ＝0 点评:abcabc型式子通常将它化成abc×1001型式子，有的问题还利用到1001＝7×11×13这一特点来进行考查，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。
知识延伸】
一、巧用运算律
进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。
711311例1 计算：(1)?1999×16；(2)(????)?(?)
8636412481解析 (1)原式＝?(2000?)×16
8＝－(3200－2) ＝－31998
113142(2)原式＝－(????)?48＝－(－8－＋36－4)＝－22.
6364123371点评:(1)像1999、2003等数字在参与运算时，往往将其写成2000?、2000＋3的形式；(2)利用乘
88法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。
二、有理数大小的比较
有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.
例2 (1992年“缙云杯”初中数学邀请赛试题)把?排列是 .
解析：
199191199292,?,?,?四个分数按从小到大的顺序1992921993931992192119931931?1?,?1?,?1?,?1?,199119919191199219929292
1111199319929392???,????,199219919291199219919291
199219919291199219919291????,????????.199319929392199319929392而
点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也是经常用到的方法.实际上，此类习题具有一般规律；
n?1n1234(n是正整数)，如??????? ?nn?12345。
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三、有理数巧算的几种特殊方法 有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求其中的规律，往往可以为解题开辟新的途径.
1.倒序相加法
例3 计算：(1)1＋2＋3＋…＋2003＋2004； (2)1－2＋3－4＋…＋2003－2004.
解析 (1)设S＝1＋2＋3＋…＋2003＋2004 ① 则S＝2004＋2003＋…＋3＋2＋1 ② ①＋②，得
2S＝(1＋2004)＋(2＋2003)＋…＋(2004＋1) ＝2005＋2005＋…＋2005 (共2004个2005) ＝2005×2004，
2005?2004＝2009010， 2即原式＝2009010.
(2)原式＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2003一2004)
＝－1－1－…－1(共1002个－1) ＝－1002.
点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用a1表示；最后一项叫末项，通常用an表示；相等的差叫公差，通常用d表示。由上面的方法不难得到.
(a?an)n(a?a)等差数列的求和(Sn)公式：Sn?1;求项数(n)的公式：n?n1?1.
2d在以后的运算中，我们也可以直接应用这个公式解题.
(1) 式之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。
(2)式也可以将它看成两组等差数列之和的差，但是题目本身有更突出的特点：从左到右每两个数字结合起来正好都等于－1.这就说明，在我们动手做题之前，要仔细研究题目本身的特点，选择一种最佳的方法.
2.错位相减法
例4计算：5＋52＋53＋…＋5n.
解析 设S＝5＋52＋53＋…＋5n， ①
＋
则 5S＝52＋53＋…＋5n1， ②
＋
②－①，得4S＝5n1－5，
?S＝
5n?1?5S?,4 n?15?5, 即原式＝4点评:本题显然不是一个等差数列求和的问题，怎么求和呢？这就需要我们去探索.为达到抵消中间一些数的目的，采取两边乘以5再做减法，达到目的。
结合例3的点评，通过本题的特点你能总结出什么规律？
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3.裂项法。
111??????. 1?21?2?31?2?????100111111解析 原式＝1?2(?)?2(?)?????2(?)2334100101
111111＝1?2(?????????)2334100101
11＝1?2(?)2101 200＝
101
例5(1993年“祖冲之杯”邀请赛试题)计算：1?点评:由1＋2＋…＋100想到等差数列求和公式：Sn?12(1?n)n?.又由,所以
Sn(1?n)n2111111??,想到??. nn?1n(n?1)n(n?1)nn?1
4.设元法
在有理数的运算以及其他代数式的运算中，我们常常把式中出现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。
111111111111?????)(?????)?313741475369293137414753
111111111111(??????)(????).293137414753693137414753
111111111111解析 设???????m,?????n.则
29313741475369313741475311原式＝(n?)(m?)?mn6969 11＝mn?(m?n)?mn?26969 111111＝(?)?2＝ ?6969296969?292001点评:对于式子中结构相同的部分我们通常可以用字母来表示，从而起到简化运算的作用。
5.数形结合法
1111例7 计算当n无限大时，1????????n的值.
24821111解析 建立如下模型，设大正方形的面积为1，则有???????n?1，故原式＝2.
2482例6计算：(
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好题妙解】
佳题新题品味
例 自然数按一定规律排成下表，问第200行的第5个数是多少？
解析 观察图表，第一行1个数，第二行2个数，……
可知第200行有200个数，从上至下，从左到右按连续自然数排列，因此，可先算第199行最后一个数为：1＋2＋3＋…＋199＝19900.
所以，第200行的第5个数是19905.
点评:仔细观察图形，发现数字个数，行数之间的规律.
中考真题欣赏
例 (桂林市中考题)计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝ . 解析 原式＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋(97－99)， 式中共50个数，分成了25组， ?原式＝(－2)×25＝－50.
点评:1~99共99个数，其中有49个偶数，50个奇数，50个奇数两两分成一组，共25组，每组计算结果是－2，故原式为－50.
竞赛样题欣赏
1131351397?(?)?(??)?????(??????). 244666989898131135113971解析 ???2,????3,????????49,
442666298989821?原式＝(1?2?????49)
2＝612.5.
点评:研究每一部分的结构特点，找出规律.
例 (第10届“五羊杯”初一赛题)计算：
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过关检测】
A级
1.计算：
123???200120012001?2000. 2001
2.计算：（2001-1）+（2000-2）+（1999-3）+ … +（1002-1000）.
3.计算：1111112222001个12001个22?3333.
2001个3
11132?4??4.1?1??1??1??1??1?1?1???1???1???1???1??2??2??3??2??3??4?199??1??1??1???1???2??3?=1?_______. ??1???99?
?25.计算：
6.计算：
2?42?62?1?2?3??1002???12?32?52??8?9?10?9?8??992??1.
2000?20002000?200020002000?2000200020002000.
2001?20012001?200120012001?2001200120012001
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七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲 有理数的巧算
