第1讲 不等关系与不等式
一、知识梳理
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc， a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(5)可乘方：a＞b＞0?an>bn(n∈N，n≥1)． nn
(6)可开方：a＞b＞0?a＞b(n∈N，n≥2)． 常用结论
记住不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
11
①a>b，ab>0?<；
ab11
②a<0 abab ③a>b>0，d>c>0?>. cd(2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 bb＋mbb－m①<；>(b－m>0)； aa＋maa－m aa＋maa－m②>；<(b－m>0)． bb＋mbb－m二、教材衍化 1. 1 ________3＋1(填“>”“<”或“＝”)． 2－1 答案：< 2．若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”和“充要”) 答案：充分不必要 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a b >1，则a>b.( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)a>b>0，c>d>0?ab d>c.( ) (6)若ab>0，则a>b?11 a .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 二、易错纠偏 常见误区 | (1)乱用不等式的相乘性致错； (2)求范围乱用不等式的加法原理致错． 1．若a>b>0，c d>0 B．abc－d<0 C．ad>bc D．abd 解析：选D．因为c ) bdacba 又因为cd>0，所以>，即>. cdcdcd ππ 2．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 22ππππ 解析：由－<α<，－<－β<，α<β， 2222得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 考点一 比较两个数(式)的大小(基础型) 复习指导 | 比较两个数(式)的大小的方法是作差法、作商法． 核心素养：数学抽象 1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝A．A≤B C．A a＋b，则A，B的大小关系是( ) B．A≥B D．A>B 解析：选B．由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B． 2．已知a>b>0，m>0，则( ) bb＋m A．＝ aa＋mbb＋mB．> aa＋mbb＋mC．< aa＋m bb＋mD．与的大小关系不确定 aa＋m bb＋mb（a＋m）－a（b＋m）m（b－a） 解析：选C．－＝＝. aa＋ma（a＋m）a（a＋m）因为a>b>0，m>0. m（b－a） 所以b－a<0，a＋m>0，所以<0. a（a＋m） bb＋mbb＋m即－<0.所以<. aa＋maa＋m ln 3ln 23．若a＝，b＝，比较a与b的大小． 32ln 3ln 2 解：因为a＝＞0，b＝＞0， 32aln 322ln 3ln 9 所以＝·＝＝＝log89＞1， b3ln 23ln 2ln 8所以a＞b. 比较两数(式)大小的方法 作差法 设a，b∈R，则a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a 作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指数、对数恒等变形等 作商法 aaa设a>0，b>0，则>1?a>b；＝1?a＝b；<1bbb?a (1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ab (2)若a＞0＞b＞－a，c dc－c)＞b(d－c)中成立的个数是( ) A．1 C．3 B．2 D．4 【解析】 (1)当b<0时，显然有a>b?a|a|>b|b|； 当b＝0时，显然有a>b?a|a|>b|b|； 当b>0时，由a>b有|a|>|b|， 所以a>b?a|a|>b|b|. 综上可知a>b?a|a|>b|b|，故选C． (2)因为a＞0＞b，c 因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0， 因为c abac＋bd 所以ac＋bd<0，所以＋＝<0，故②正确． dccd因为c 因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)， 即a－c＞b－d，故③正确． 因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C． 【答案】 (1)C (2)C 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案． 1．(一题多解)(2020·石家庄质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是( ) A．a2<－ab 11 C．> ab B．|a|<|b| 11D．()a>()b 22 a 1??1? 解析：选C．通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，??2?
第1讲 不等关系与不等式
