动态几何之线面动形成的全等相似三角形 一、选择题
10.1. （2011年江苏徐州2分）平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQ⊥轴，垂足为点Q。若以点O、P、Q为顶点的三角形与?OAB相似，则相应的点P共有【 】 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 三、解答题
1. （2013年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线经过点A(x，0)，B(x，0)，C(0，－2)，其顶点为D.21以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N。∠ONE=30°，。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图（b）,点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（2）如图，由抛物线的对称性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA。
若在抛物线对称性的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似， 必须有∠BAP=∠BPA=∠BPD。
∴在该抛物线上不存在点P，使得△ABP与△ADB相似。
【考点】二次函数综合题，单动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，切线的性质，含30度角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，反证法和分类思想的应用。
【分析】（1）由切线的性质和含30度角直角三角形的性质，求出点A、B的坐标，从而应用待定系数法求出抛物线的解析式，化为顶点式即可得到抛物线的顶点D的坐标。
（2）应用反证法分抛物线对称性的右侧和抛物线对称性的左侧两种情况说明在该抛物线上不存在点P，使得△ABP与△ADB相似。
（3）由垂径定理和相似三角形的判定和性质，可得，在Rt△AOF中，应用勾股定理可得，从而得 为定值的结论。AQ·AH出
2. （2013年贵州黔西南16分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
+bx+c（a≠0），【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax
将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得： ，解得：。
2
+2x。 ∴函数解析式为：y=x（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，
0）知：DE=AO=2，
若D在对称轴直线x=﹣1左侧，则D横坐标为﹣3，代入抛物线解析式得D（﹣3，3）； 1若D在对称轴直线x=﹣1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D（1，3）。 2综上所述，点D的坐标为：（﹣3，3）或（1，3）。
3. （2013年福建南平14分）如图，已知点A（0，4），B（2，0）． （1）求直线AB的函数解析式；
2
+n与线段m（x﹣）A、B重合），以M为顶点的抛物线y=M（2）已知点是线段AB上一动点
（不与点OA交于点C．
①求线段AC的长；（用含m的式子表示）
②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．
∵在△ACM与△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM， ∴当△ACM与△AMO相似时，假设△ACM∽△AMO。 ∴，即。
2
﹣8m=0，解得m=或9整理，得 mm=0（舍去），
∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似，此时m=。
4. （2013年云南曲靖12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，2+bx+C．点D为线段AB上一动点，过点D作﹣yBA过、两点的抛物线为=xCD⊥x轴于点C，交抛物线 ．E于点． （1）求抛物线的解析式．
（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）。
22
+bx+xc上， （0，4）在抛物线y=﹣∵点A（﹣4，0），B∴，解得：。
﹣3x+4。 =∴抛物线的解析式为：y﹣x【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上
点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定，转换思想和分类思想的应用。
【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。 （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S=S+S﹣S，
BCOCAEBACEOCEB△△四边形梯形
可以简化计算。
（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形。分∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况讨论。
2
+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛x20135. （年云南红河9分）如图，抛
物线y=﹣物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E． （1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式； （2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（2）∵点E在直线BC上，∴设点E的坐标为（x，﹣2x+4）。
∴△ODE的面积S可表示为：。
∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1。
此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，∴点E的坐标为（1，2）。
【考点】二次函数综合题，单动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，相似三角形的判定，解一元二次方程，分类思想的应用。
2
+4中，令y=0，解方程可求得点A、点B的坐标；令x【分析】（1）在抛物线解析式y=﹣x=0，
可求得顶点C的坐标．已知点B、C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式。 （2）求出△ODE面积的表达式，利用二次函数的性质求出最大值，并确定点E的坐标。 （3）本问为存在型问题．因为△OAC与△OPD都是直角三角形，需要分类讨论： ①当△PDO∽△COA时，由得PD=2OD，列方程求出点P的坐标； ②当△PDO∽△AOC时，由得OD=2PD，列方程求出点P的坐标。
6. （2013年新疆乌鲁木齐14分）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E． （1）求证：△OAD≌△EAB；
（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；
（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．
∴抛物线的解析式为：。
∵DM=DB=2，OA=，∴M（，）。 11由（1）知B（2，0），E（，），故直线BE的解析式为y=（1﹣）x﹣2+。
∵I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点， ∴I（1，﹣1），即M（1，﹣1）． 3∴符合题意的M点的坐标为（，），（1，﹣1）。
【考点】二次函数综合题，单动点问题，全等三角形的判定和性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，相似三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，分类睥应用。
【分析】（1）连接ID，IO，通过证明IF⊥OD而得到∠FED=∠EBA；又由DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，即可由AAS证得△OAD≌△EAB；
（2）求出点B、E的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（3）由于直线BD与x轴关于直线BF对称，则抛物线与直线BD的交点即为所求之点P。分别求出抛物线与直线BD的解析式，联立解方程，即可求出交点（点P）的坐标。
（4）首先证明△OED是顶角为135°的等腰三角形，若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M，M，21．
M，M，其中符合题意的是点M，M。 34317.（2013年广西百色10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED。
（1）如果∠CBD＝∠E，求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E运动到什么位置时，△EDB≌△ABD，并给予证明； （3）若tanE＝，BC＝，求阴影部分的面积。（计算结果精确到0.1) (参考数值：π≈3.14,≈1.41，≈1.73)
2
+bx+c交y轴于点C（0，4）ax8. （ 2013年广西贵港11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，
抛物线y=，对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD． （1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）存在。若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形： ①OD=OP。
，故此种情形不存≠OD最小值为4，即OP由图象可知，OP 在。 OE。②OD= 。OPD≌△OPE轴正半轴上，在y如答图2所示，此时△若点E 在第一象限的角平分线上。OPE，即点P∴∠OPD=∠ 。=x∴直线PE的解析式为：y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可yE在若点 能全等，故不存在。 PE。③OD= 2。，∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于∵OD=2o ．动cm．OA=8cmxOABC如图，在中，点A在轴上，∠AOC=60，OC=4分）福建漳州（9. 201214 出发，以同时运动；动点→的速度沿线段／1OP点从点出发，以cmsOAABQO从点．．
acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动． 设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
∴=t·2－t· (t－8)
2
+3t。 =－t
综上所述，。
∵①②中S随t的增加而增加， ③中，S随t的增加而减小， ∴当t=8时，S最大。
（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA两种情况讨论即可。
10. （2012湖北襄阳12分）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物2+bx+c经过O，D，线y=axC三点． （1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE， 由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t。 ，QPC∽△ADE，△=90°DAE∠=PQC当∠． ∴，即，解得。
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC， ∴，即，解得。
∴当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似。
（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M（﹣4，﹣32），N（4，﹣38）； 11②M（12，﹣32），N（4，﹣26）；③M（4，），N（4，﹣）。 3223综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M（﹣4，﹣32），N（4，﹣38）； 11②M（12，﹣32），N（4，﹣26）；③M（4，），N（4，﹣）。 322311. （2012湖南常德10分）如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）设（x<0），则PH=， HD=。 又∵AC=， BC=，
①当△PHD∽△ACB时有：，即：， 整理得，解得（舍去），此时，。 ∴。
②当△DHP∽△ACB时有：， 即：， 整理 ，解得（舍去），此时，。 ∴。
综上所述，满足条件的点有两个即，。
12. （2012辽宁鞍山14分）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°． （1）直接写出直线AB的解析式； （2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说 明理由．
或，x=0﹣4），解得得x=x（x 。0）∴P（，13. （2012辽宁阜新12分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！
动态几何之动点形成的全等相似三角形
