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例谈二阶导数在高中数学中的应用
作者:王耀民
来源:《新校园·中旬刊》2014年第07期
摘 要:导数是高中数学与高等数学的一个衔接点,也是高中学生进入高校进一步学习数学的起点。导数的应用已经是高考试卷中的必选内容,而在课本中从未提及的二阶导数的使用正在悄悄上演,什么是有二阶导数相关背景的问题?如何破解?本文拟对此加以分析。 关键词:高中数学;二阶导数;例题分析
导数在高中教材中所占篇幅并不大,但在高考中占分比却达到了10%左右。主要涉及两方面的问题:1.导数的运算:以导数为工具求曲线的切线斜率或切线方程,以微积分基本定理为工具计算曲边梯形面积,是高考的重点;2.导数的应用:主要是利用导数研究函数的单调性、极值与最值,以及与导数有关的恒成立问题,与不等式、方程、数列等结合的综合问题等。近年来,无论是采用全国卷的地区还是自主命题地区,导数几乎都在压轴题位置,足见其重要性。导数的一般应用即一阶导数的应用在教学环节自然少不了,二阶导数的使用也渐渐登上舞台,本文以几个实例谈谈二阶导数在高中数学中的应用。 一、利用二阶导数解决三次函数的对称中心相关问题
例1:【2012·自贡三模改编】对于三次函数f(x)=ax3+ bx2+cx+d(a≠0),定义y=f'(x)是y=f(x)的导函数,f''(x)是y=f'(x)的导函数,若方程f\(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”。有的同学发现”任何三次函数都有“拐点”;任何三次函数都有对称中心;且对称中心就是“拐点”。请你根据这一发现判断下列命题: (1)任意三次函数都关于点(-■,f(-■))对称;
(2)存在三次函数,f\(x)=0有实数解x0,(x0,f(x0))点为函数y=f(x)的对称中心;
(3)存在三次函数有两个及两个以上的对称中心;
(4)若函数g(x)=x3-3x2,则g(■)+g(■)+g(■)+…+g(■)=-8054. 其中正确命题的序号为 。
【解析】(1)由题意,f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),f\(x)=6ax+2b(a≠0), 令f\(x)=0,得x=-■,所以任意三次函数都关于点(-■,f(-■))对称,故(1)正确。
例谈二阶导数在高中数学中的应用
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