例谈二阶导数在高中数学中的应用

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例谈二阶导数在高中数学中的应用

作者：王耀民

来源：《新校园·中旬刊》2014年第07期

摘 要：导数是高中数学与高等数学的一个衔接点，也是高中学生进入高校进一步学习数学的起点。导数的应用已经是高考试卷中的必选内容，而在课本中从未提及的二阶导数的使用正在悄悄上演，什么是有二阶导数相关背景的问题？如何破解？本文拟对此加以分析。 关键词：高中数学；二阶导数；例题分析

导数在高中教材中所占篇幅并不大，但在高考中占分比却达到了10%左右。主要涉及两方面的问题：1.导数的运算：以导数为工具求曲线的切线斜率或切线方程，以微积分基本定理为工具计算曲边梯形面积，是高考的重点；2.导数的应用：主要是利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及与导数有关的恒成立问题，与不等式、方程、数列等结合的综合问题等。近年来，无论是采用全国卷的地区还是自主命题地区，导数几乎都在压轴题位置，足见其重要性。导数的一般应用即一阶导数的应用在教学环节自然少不了，二阶导数的使用也渐渐登上舞台，本文以几个实例谈谈二阶导数在高中数学中的应用。 一、利用二阶导数解决三次函数的对称中心相关问题

例1：【2012·自贡三模改编】对于三次函数f（x）=ax3+ bx2+cx+d（a≠0），定义y=f'（x）是y=f（x）的导函数，f''（x）是y=f'（x）的导函数，若方程f\（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”。有的同学发现”任何三次函数都有“拐点”；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是“拐点”。请你根据这一发现判断下列命题： （1）任意三次函数都关于点（-■，f（-■））对称；

（2）存在三次函数，f\（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心；

（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

（4）若函数g（x）=x3-3x2，则g（■）+g（■）+g（■）+…+g（■）=-8054. 其中正确命题的序号为 。

【解析】（1）由题意，f'（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），f\（x）=6ax+2b（a≠0）， 令f\（x）=0，得x=-■，所以任意三次函数都关于点（-■，f（-■））对称，故（1）正确。