高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章 线性变换与相似矩阵 习题

习题判别下列变换是否线性变换

（1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ）解：当当

时，时，有

，

，

显然是的线性变换；

，

，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ）解：当当

，时，时，有

；

显然是的线性变换；

，

，则，则

，即此时不是的线性变换。

（2）在（Ⅰ）解：不是

中，

，

的线性变换。因对于，所以

（Ⅱ）解：是则有

的线性变换。设

。

； ，其中

，

，

，

，有

，

。

（3）在（Ⅰ）解：是

中，

，

的线性变换：设

，则

，

，

（Ⅱ）解：是

。

，其中是中的固定数；

的线性变换：设

，则 ，

，

。

，其中是的

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数； 解：

不是线性变换。因为取

，即

（5）在

。

，

时，有

，

中，设与是其中的两个固定的矩阵，。

，

解：是的线性变换。对，，有 ，

。

习题在

中，取直角坐标系

，以表示空间绕

表示空间绕轴由

轴由

轴向

方向旋转900的变换，以

轴向方向旋转

900的变换，以证明

表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。

（表示恒等变换）， ， ；

并说明证明：在知：

是否成立。

中任取一个向量

， ，，即

，；，故

， ，所以

。

，则根据

，；，

。 及

的定义可

，，

因为

因为， ，所以

。

，

，所以

。 。

因为

习题在证明：在

中，，

，有

，证明

中任取一多项式

。所以

习题设，是上的线性变换。若

。

证明：用数学归纳法证明。当

。

，证明

时，有