考点:线性规划解法
16.在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 . 【答案】(6?2,6+2)
【解析】如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合与E点时,AB最长,在△BCE中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得
BCBE?,即
sin?Esin?C2BE?,解得BE=6+2,平移AD ,当D与C重合时,AB最短,此时oosin30sin75与AB交于F,在△BCF中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知,
BFBCBF2??,即,解得BF=6?2,所以AB的取值
sin?FCBsin?BFCsin30osin75o范围为(6?2,6+2).
考点:正余弦定理;数形结合思想
217.(本小题满分12分)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,an?an=错误!未找
到引用源。.
(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn?1错误!未找到引用源。 ,求数列{bn}的前n项和. anan?111? 64n?6【答案】(Ⅰ)2n?1(Ⅱ)【解析】
试题分析:(Ⅰ)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{an}的递推公式,可以判断数列{an}是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{an}的通项公式;
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(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{bn}的通项公式,再用拆项消去法求其前n项和.
2试题解析:(Ⅰ)当n?1时,a1?2a1?4S1?3?4a1+3,因为an?0,所以a1=3,
当
n?2?1n时,
22an?an?an?1?an?1=
4Sn?3?4Sn?1?3=4an,即
(an?a)(a?n?1an?),2a?(?因为aa),所以an?an?1=2, nnn?0所以数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列, 所以an=2n?1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=所
以
数
1111?(?),
(2n?1)(2n?3)22n?12n?3{
列
bn?(}前n项和为
b1?b2?11111?bn=[(?)?(?)?235571111?)] =?. 2n?12n?364n?6考点:数列前n项和与第n项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法
18.如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;
(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
3 3【解析】 试题分析:(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD中,不妨设GB=1易证EG⊥AC,通过计算可证EG⊥FG,根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC,由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC;(Ⅱ)以G为坐标原点,分别以GB,GC的方向为x轴,y轴正方向,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值. 试题解析:(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD中,不妨设GB=1,由∠ABC=120°,可得AG=GC=3.
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由BE⊥平面ABCD,AB=BC可知,AE=EC, 又∵AE⊥EC,∴EG=3,EG⊥AC,
在Rt△EBG中,可得BE=2,故DF=2. 2在Rt△FDG中,可得FG=
6. 2在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=2,DF=∴EG2?FG2?EF2,∴EG⊥FG, ∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面AFC,
∵EG?面AEC,∴平面AFC⊥平面AEC.
232可得EF=, 22
(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC的方向为x轴,y轴正方向,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,由(Ⅰ)可得A(0,-3,0),E(1,0, 2),
F(-1,0,分
22),C(0,3,0),∴AE=(1,3,2),CF=(-1,-3,).…1022故cos?AE,CF??AE?CF3. ??3|AE||CF|3. 3所以直线AE与CF所成的角的余弦值为考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力 19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
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x y w ?(x?x)ii?182 ?(w?w)ii?182 ?(x?x)(y?y) ?(w?w)(y?y) iiiii?1i?18846.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 1表中wi?xi ,w =
8?w
ii?18(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(ⅰ)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),……,(un,vn),其回归线v????u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
【答案】(Ⅰ)y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型;(Ⅱ)
y?100.6?68x(Ⅲ)46.24
【解析】 试题分析:(Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数;(Ⅱ)令(Ⅲ)(ⅰ)w?x,先求出建立y关于w的线性回归方程,即可y关于x的回归方程;
利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值,再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值;(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z的预报值,列出关于x的方程,利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费
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用.
试题解析:
(Ⅰ)由散点图可以判断,y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.
(Ⅱ)令w?8x,先建立y关于w的线性回归方程,由于
d??(w?w)(y?y)iii?1?(w?w)ii?18=
2108.8=68, 16∴c?y?dw=563-68×6.8=100.6.
∴y关于w的线性回归方程为y?100.6?68w, ∴y关于x的回归方程为y?100.6?68x.
(Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值
y?100.6?6849=576.6, z?576.6?0.2?49?66.32.
(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z的预报值
z?0.2(100.6?68x)?x??x?13.6x?20.12,
∴当x=13.6=6.8,即x?46.24时,z取得最大值. 2故宣传费用为46.24千元时,年利润的预报值最大.……12分
考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识
x220.(本小题满分12分)在直角坐标系xoy中,曲线C:y=与直线y?kx?a(a>
40)交与M,N两点,
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 【答案】(Ⅰ)ax?y?a?0或ax?y?a?0(Ⅱ)存在
【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求出M,N的坐标,再利用导数求出M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用设而不求思想即将y?kx?a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程,设出M,N的坐标和P点坐标,利用设而不求思想,将直线PM,PN的斜率之和用a表示出来,利用直线PM,PN的斜率为0,即可求出a,b关系,从而找出适合条件的P点坐标. 试题解析:(Ⅰ)由题设可得M(2a,a),N(?22,a),或M(?22,)a,N(2a,a).
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2015年高考理科数学新课标全国1卷 逐题解析
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