考点：线性规划解法
16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . 【答案】（6?2，6+2）
【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
BCBE?，即
sin?Esin?C2BE?，解得BE=6+2，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时oosin30sin75与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
BFBCBF2??，即，解得BF=6?2，所以AB的取值
sin?FCBsin?BFCsin30osin75o范围为（6?2，6+2）.
考点：正余弦定理；数形结合思想
217．（本小题满分12分）Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an?an=错误！未找
到引用源。.
（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?1错误！未找到引用源。 ,求数列{bn}的前n项和. anan?111? 64n?6【答案】（Ⅰ）2n?1（Ⅱ）【解析】
试题分析：（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{an}的递推公式，可以判断数列{an}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{an}的通项公式；
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（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{bn}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.
2试题解析：（Ⅰ）当n?1时，a1?2a1?4S1?3?4a1+3，因为an?0，所以a1=3，
当
n?2?1n时，
22an?an?an?1?an?1=
4Sn?3?4Sn?1?3=4an，即
(an?a)(a?n?1an?)，2a?(?因为aa)，所以an?an?1=2， nnn?0所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以an=2n?1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=所
以
数
1111?(?)，
(2n?1)(2n?3)22n?12n?3{
列
bn?(}前n项和为
b1?b2?11111?bn=[(?)?(?)?235571111?)] =?. 2n?12n?364n?6考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
3 3【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=3.
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由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC， 又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=2，故DF=2. 2在Rt△FDG中，可得FG=
6. 2在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=∴EG2?FG2?EF2，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG?面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.
232可得EF=， 22
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E（1,0, 2），
F（－1,0，分
22），C（0，3，0），∴AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，）.…1022故cos?AE,CF??AE?CF3. ??3|AE||CF|3. 3所以直线AE与CF所成的角的余弦值为考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
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x y w ?(x?x)ii?182 ?(w?w)ii?182 ?(x?x)(y?y) ?(w?w)(y?y) iiiii?1i?18846.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 1表中wi?xi ，w =
8?w
ii?18（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回归线v????u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】（Ⅰ）y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（Ⅱ）
y?100.6?68x（Ⅲ）46.24
【解析】 试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令（Ⅲ）（ⅰ）w?x，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；
利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费
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用.
试题解析：
（Ⅰ）由散点图可以判断，y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.
（Ⅱ）令w?8x，先建立y关于w的线性回归方程，由于
d??(w?w)(y?y)iii?1?(w?w)ii?18=
2108.8=68， 16∴c?y?dw=563-68×6.8=100.6.
∴y关于w的线性回归方程为y?100.6?68w， ∴y关于x的回归方程为y?100.6?68x.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值
y?100.6?6849=576.6， z?576.6?0.2?49?66.32.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
z?0.2(100.6?68x)?x??x?13.6x?20.12，
∴当x=13.6=6.8，即x?46.24时，z取得最大值. 2故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
x220．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y?kx?a（a＞
40）交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 【答案】（Ⅰ）ax?y?a?0或ax?y?a?0（Ⅱ）存在
【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y?kx?a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得M(2a,a)，N(?22,a)，或M(?22,)a，N(2a,a).
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2015年高考理科数学新课标全国1卷 逐题解析
