∴AE=DE， ∴△BAE≌△CDE， ∴BE=CE．
（2）①解：如图2中，
由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形， ∴∠EBC=∠ECB=45°， ∵∠ABC=∠BCD=90°， ∴∠EBM=∠ECN=45°， ∵∠MEN=∠BEC=90°， ∴∠BEM=∠CEN， ∵EB=EC， ∴△BEM≌△CEN； ②∵△BEM≌△CEN，
∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x， ∴S△BMN=∵-
11?x（4-x）=-（x-2）2+2， 221＜0， 2∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．
③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．
∴EG=m+3m=（1+3）m， ∵S△BEG=∴EH= 11?EG?BN=?BG?EH， 223m?(1?3)m3+3=m，
2m2
3+3m6?2． 在Rt△EBH中，sin∠EBH=EH?2?EB46m【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，
4．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．
（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；
（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．
【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；
（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF； （3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC，
∵△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=CE， 在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点， ∴AD=2CF， ∴BE=2CF， 故答案为BE=2CF；
（2）（1）中的关系是仍然成立， 理由：∵点F是AD中点， ∴AD=2DF，
∴AC=AD+CD=2DF+CD，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∴BC=2DF+CE，
∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE）， ∵CF=DF+CD=DF+CD， ∴BE=2CF；
（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3， 延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF， ∵点F是AD中点， ∴AF=DF， 在△CDF和△GAF中，∴△CDF≌△GAF，
∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，
∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD， ∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD， ∴∠CAG=∠BCE， 连接BE，
在△BCE和△ACG中，∴△BCE≌△ACG， ∴BE=CG=2CF， 即：BE=2CF．
， ，
点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
5．（1）发现
如图，点A为线段BC外一动点，且BC?a，AB?b.
填空：当点A位于____________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a，b的式子表示）
（2）应用
点A为线段BC外一动点，且BC?3，AB?1.如图所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE. ①找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值.
（3）拓展
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为?2,0?，点B的坐标为?5,0?，点P为线段
AB外一动点，且PA?2，PM?PB，?BPM?90?，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE的最大值是4;（3）AM的最大值是3+22，点P的坐标为（2-2，2） 【解析】 【分析】
（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出
△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b， 故答案为CB的延长线上，a+b； （2）①CD=BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC， 即∠CAD=∠EAB， 在△CAD与△EAB中，
?AD＝AB???CAD＝?EAB ， ?AC＝AE?∴△CAD≌△EAB， ∴CD=BE；
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上， ∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；
（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN， 则△APN是等腰直角三角形，
几何模型压轴题单元测试题(Word版 含解析)
