专题八 第1讲
??x＝1＋cos α，
1．(2017·河南焦作二模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α
?y＝sin α?
13??x＝－t，
为参数，－π<α<0)，曲线C2的参数方程为?22(t为参数)，以O为极点，x轴的
??y＝5＋3t正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；
π
(2)射线θ＝－与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．
4π
－，0?． 解析 (1)曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈??2?故其轨迹为以(1,0)为圆心，1为半径的圆在x轴下方的部分． 曲线C2的普通方程为2x＋y－6＝0．
π
－，0?． (2)由(1)知，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈??2?
??ρ1＝2cos θ1，
设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有? π
??θ1＝－4，??ρ1＝2，
解得? π
θ＝－.?4?1
??ρ2?2cos θ2＋sin θ2?＝6，设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，则有? π
??θ2＝－4，??ρ2＝62，
解得? π
??θ2＝－4.
因为θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝52， 所以PQ的长为52．
??x＝3＋tcos φ，2．(2017·湖北孝感二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?
?y＝1＋tsin φ?
(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cos θ．
(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程；
(2)当φ∈(0，π)时，l与C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．
??x＝3＋tcos φ，
解析 (1)由直线l的参数方程为?(t为参数)，
??y＝1＋tsin φ
消去参数t，得(x－3)sin φ－(y－1)cos φ＝0，
即直线l的普通方程为(sin φ)x－(cos φ)y＋cos φ－3sin φ＝0． 由圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得ρ2－4ρcos θ＝0．(*)
??x＝ρcos θ，
将?代入(*)得，x2＋y2－4x＝0， ?x2＋y2＝ρ2，?
即C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4．
(2)方法一 将直线l的参数方程代入(x－2)2＋y2＝4， 得t2＋2(cos φ＋sin φ)t－2＝0， 则Δ＝4(cos φ＋sin φ)2＋8>0．
设P，Q两点对应的参数分别为t1，t2，则 t1＋t2＝－2(cos φ＋sin φ)，t1t2＝－2， 所以|PQ|＝|t1－t2|＝＝2?t1＋t2?2－4t1·t2
3＋sin 2φ．
3＋2sin φcos φ＝2
3π
因为φ∈(0，π)，2φ∈(0,2π)，所以当φ＝，sin 2φ＝－1时，|PQ|取得最小值22．
4方法二 由直线l的参数方程知，直线l过定点M(3,1)，当直线l⊥CM时，线段PQ的长度最小．此时|CM|2＝(3－2)2＋1＝2，|PQ|＝2
所以|PQ|的最小值为22．
r2－|CM|2＝2×
4－2＝22，
?x＝t，x22
3．已知曲线C：＋y＝1，直线l：?(t为参数)．
4?y＝2－3t
(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解析 (1)直线l的直角坐标方程为 3x＋y－2＝0，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入方程整理得 π?直线l的极坐标方程为ρsin??3＋θ?＝1，
??x＝2cos θ，曲线C的参数方程为?(θ为参数)．
??y＝sin θ
(2)曲线C上的点P(2cos θ，sin θ)到直线l：3x＋y－2＝0的距离 |23cos θ＋sin θ－2||23cos θ＋sin θ－2|
d＝＝，
2
3＋1则|PA|＝
d
＝|13sin(θ＋α)－2|，其中tan α＝23．
sin 30°
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|max＝13＋2； 213
当sin(θ＋α)＝时，|PA|min＝0．
13
4．(2018·湖北黄冈模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为
?x＝5＋23t，x轴非负半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为?1
y＝?2t
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
(t为参数)．
(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．
解析 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x．
?x＝5＋23t，
由?1
y＝?2t
得y＝
(t为参数)，
1
(x－5)，即直线l的普通方程为x－3y－5＝0． 3
|2－3×0－5|3
(2)由(1)可知C为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d＝＝，
2
1＋3弦长|PQ|＝2
3?2
22－??2?＝7，
因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形的面积 S＝2d·|PQ|＝37．
π
2，?． 5．已知在一个极坐标系中点C的极坐标为??3?
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
解析 (1)设圆C上任意一点A(ρ，θ)，
ππ
则∠AOC＝θ－或－θ．
33
π
θ－?＝4， 由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos??3?π
θ－?． ∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cos??3?作图如图．
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，3)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，3＋2sin α)，
又令M(x，y)，由Q(5，－3)，M是线段PQ的中点， 6＋2cos α
??x＝2，得M的参数方程为?
2sin αy＝??2
(α为参数)，
??x＝3＋cos α，
即?(α为参数)， ??y＝sin α
∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1．
6．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为
?x＝3cos α＋sin α，
(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的?
?y＝23sin αcos α－2sin2α＋2
π2
θ＋?＝t(t为参数)． 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin??4?2
(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程； (2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围． 解析 (1)由x＝3cos α＋sin α，得
x2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos2α＋23sin αcos α＋1， 所以曲线M可化为y＝x2－1，x∈[－2,2]． π2222
θ＋?＝t，得ρsin θ＋ρcos θ＝t， 由ρsin??4?2222所以ρsin θ＋ρcos θ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t． (2)若曲线M，N有公共点，
??x＋y＝t，
联立?得x2＋x－1－t＝0
?y＝x2－1，?
15
x＋?2－， 在[－2,2]上有解，即t＝x2＋x－1＝??2?45
－，5? 当t∈[－2,2]时，t∈??4?5??
－≤t≤5? ． 故t的取值范围是?t??4
?
?
2020高考数学核心突破《专题8 选考部分 第1讲 坐标系与参数方程》 (2)
