一个天文学中的“缪误”

一个天文学中的“缪误”

笔者在教学中发现出自于天文学中的一个“缪误”，拿它去考查了许多学生，终不能解释其中原委，为了不让大家白白浪费时间，萌生了抛砖引玉的想法，现将它公布于众，以饷读者。

下面先例出“缪误”：

开普勒第二定律告诉我们，地球绕太阳运行在任何时刻面积速度不变。

即：V1*r1=V2*r2(1)

我们考虑近日点A和远日点B两点，由万有引力定律和圆周运动知识可得出：

F=GM*m/r2=m*V2/r(2)

得到V=代入（1）式，得到一个奇怪的结果=，从而得到r1= r2

同样的问题还出现在天体的能量计算中。大家都知道，地球的总能量E=﹣GM*m/2r，由机械能守恒定律可知地球在远、近日点的能量相等，即﹣GM*m /2r1=﹣GM*m /2 r2 （3）

从而也得到r1= r2，显然是错误的。问题出在何处？

是开普勒定律出了问题，还是万有引力定律在这里不能用？

以上两条定律都是经典定律，绝对不会出问题。那么究竟是哪里出了问题？下面且看正解。正解：

（1）和（2）式都没有问题，问题出在（2）式中等式的左右两边的r不是同一个r，左边的r是矢径，其大小是指太阳到地球的距离，而右边的r是A、B点的曲率半径，这是两个不同的概念。只有在圆周运动时它们才相等。但教材在这里没加区分，长期下来就造成缪误，人们普遍认为是同一个量。曲率半径是这样算的,=（1+Y’2）3/2／|Y’’|=（a2-c2）/a(4)

a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距。它是不等于左边的矢径r的。式中的Y’和Y’’分别是椭圆轨迹方程中Y对X的一阶和二阶导数。

由（2）式可得V=

这样一来（1）式的左边可以写成