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课时作业(十) 递推数列及数列求和的综合问题
??an＋2，n是奇数，1．(2017·信阳二模)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝??2an，n是偶数，? 则数列{an}的前20项和为( ) A．1 121 B．1 122 C．1 123 D．1 124 解析：由题意可知，数列{ a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为123.选C. 答案：C 2．(2017·湖南省五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，1×1－21－21010×9＋10×1＋×2＝1 2a4＋a5＝23，则S8＝( ) A．72 B．88 C．92 D．98 解析：法一 由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，数列{an}是公差为3的等差数列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，∴a1＝1，S8＝8a1＋8×7d＝92. 2法二 由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，数列{an}是公差为3的等差数列，S8＝8a1＋a88a4＋a5＝＝92. 22答案：C 3．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，则数列{an}的前40项和S40等于( ) A．20 B．40 C．60 D．80 解析：由an＋1＝an11(n≥2)，a1＝1，a2＝3，可得a3＝3，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，an－133263a8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为，又40＝6×6＋4，所以S40＝6×＋1＋3＋3＋1＝60. 263鼎尚出品
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答案：C 4．(2017·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋等于( ) a1a2a2 016A.C.4 0324 028 B. 2 0172 0152 0152 014 D. 2 0162 015111解析：由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝n－12n＋2，所以an＝n2＋n1?12111?1，所以＝2＝2?－，故＋＋…＋＝?2ann＋n?nn＋1?a1a2a2 0161?11112?－＋－＋…＋2 016?1223 －1??1?4 032＝2?1－＝，选A. ?2 017??2 017??2 017答案：A 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝a5.令bn＝(－1)的前2n项和T2n为( ) A．－n B．－2n C．n D．2n 解析：设等差数列{an}的公差为d，由S3＝a5，得3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，∴an＝2n－1，∴bn＝(－1)－2n，选B. 答案：B 6．(2017·太原市模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)(2n－1)·cos1(n∈N)，其前n项和为Sn，则S60＝( ) A．－30 B．－60 C．90 D．120 解析：由题意可得，当n＝4k－3(k∈N)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N)时，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S60＝8×15＝120. 答案：D 7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝( ) A．2 B．2 鼎尚出品
n－1an，则数列{bn}n－1(2n－1)，∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝nnπ2＋*****nn精心制作仅供参考 鼎尚出品
C．2n＋1－2 D．2n－1－2 nn－1解析：因为an＋1－an＝2，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝22n－2＋2－22－2nnn＋1＋…＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2，所以Sn＝＝2－2. 1－21－22nn＋1答案：C n8．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则?a2k＝( ) k＝1A.C.nn＋523n B.n5n＋12 n＋12 D.n＋32n＋5 解析：当n＝1时，3S1＝a1a2,3a1＝a1a2，所以a2＝3，当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an， 两式相减得：3an＝an(an＋1－an－1)， 又因为an≠0，所以an＋1－an－1＝3， 所以{a2n}是一个以3为首项，3为公差的等差数列． n所以?a2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋k－1nn－123n×3＝n＋12. 答案：C 9．(2017·湖北省七市(州)联考)在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(an，2a2n－1)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( ) 1－－3A．3－1 B.2nn 1＋33n＋nC. D. 22解析：由点(an，an－1)在直线x－9y＝0上，得an－9an－1＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1>0，∴an－3an－1＝0，即2222n2an＝3，∴数an－1na11－qn2×3－1列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝1－q3－13－1，故选A. 答案：A 10．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是n鼎尚出品
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2，接下来的两项是22，再接下来的三项是222，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A．440 B．330 C．220 D．110 解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为由题意知，N＞100，令00,10,1,2n1＋n2. *n1＋n2n＞100?n≥14且n∈N，即N出现在第13组之后． n1－221－2n第n组的各项和为＝2－1，前n组所有项的和为1－21－2－n＝2n＋1－2－n. 项的和即设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－kkn1＋n2*第n＋1组的前k项的和2－1应与－2－n互为相反数，即2－1＝2＋n(k∈N，n≥14)，k29×1＋29＝log2(n＋3)?n最小为29，此时k＝5，则N＝＋5＝440. 2故选A. 答案：A 11．(2017·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列???anan＋1?1??的前9项和为________． ??a1＋4d≥0，即??a1＋5d≤0???a5≥0解析：由Sn≤S5得??a6≤0? 99，得－≤d≤－，又a2为整数，∴d＝45－2，an＝a1＋(n－1)×d＝11－2n，1?11?1＝?－?， an·an＋1d?anan＋1??1??的前n项和Tn＝ ∴数列??anan＋1?1?11?111111?－＋－＋…＋－＝ ?anan＋1?d?a1a2a2a3?1?1?1?1??1－，∴T9＝－×?－?－??＝－. ??d?a1an＋1?2?9?9??91答案：－ 912．(2017·兰州市诊断考试)已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当2ann≥2时，有＝1成立，则S2 017＝________. anSn－S2n解析：当n≥2时，由2an222得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－Sn＝－SnSn－1，∴－2＝1，anSn－SnSnSn－1鼎尚出品
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?2?222＝1，又＝2，∴??是以2为首项，1为公差的等差数列，∴＝n＋1，故Sn＝，则S1Snn＋1?Sn?S2 017＝1. 1 0091 1 0091 ?Sk＝k＝1n答案：13．(2017·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则________. 解析：设等差数列{an}的公差为d，则 a3＝a1＋2d＝3，??由?4×3Sd＝10，4＝4a1＋?2?∴ Sn＝n×1＋1＝ 1得??a1＝1，???d＝1. ∴an＝n. nn－12×1＝nn＋12， Snnn1?2?1＝2?－?. n＋1?nn＋1?1111∴ k＝1? Sk＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn 11??11111＝2?1－＋－＋－＋…＋－ nn＋1??22334?＝2?1－答案：??1?2n＝. n＋1??n＋12n n＋1n14．(2017·兰州市高考实战模拟)对于正整数n，设曲线y＝x(1－x)在x＝2处的切线与平面直角坐标系的y轴交点的纵坐标为an，则数列?log2??an?n＋1??的前10项和等于________． nn解析：y′＝nxnn－1－(n＋1)x＝[n－(n＋1)x]xnn－1，当x＝2时，y＝2(1－2)＝－2，∴n－1曲线在点(2，－2)处的切线的斜率k＝(－n－2)×22)×2n－1n，切线方程为y－(－2)＝(－n－nn×(x－2)，当x＝0时，y＝(n＋1)×2，∴an＝(n＋1)×2，∴log2?是首项为1，公差为1的等差数列，其前10项的和为n＋1?＝log22＝n，n＋1ann即数列?log2??an?1＋10×10＝55. 2答案：55 15．(2017·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2鼎尚出品
高考数学二轮复习专题四数列课时作业十递推数列及数列求和的综合问题理2(1)
