第23讲 解三角形应用举例
［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.
一、选择题
1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( B )
A．北偏东10° C．南偏东10°
B．北偏西10° D．南偏西10°
解析 依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.
2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( C )
A．1千米B．2sin 10° 千米
C．2cos 10° 千米D．cos 20° 千米 解析 由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，
∴BD＝DC＋CB－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos 20°＝4cos10°，∴BD＝2cos 10°.
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( A )
22
2
2
A．102 海里 C．203 海里
B．103 海里 D．202 海里
解析 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝102(海里)，故选A．
sin 30°sin 45°
BCAB
4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是( D )
A．1002 m C．2003 m
B．400 m D．500 m
解析 由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD＝BC＋CD－2BC·CDcos∠BCD，得3h＝h＋500＋h·500，解得h＝500(m).
5．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C 1．4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝( A )
2
2
2
2
2
2
A．C．231
5
231
16
5B． 1611D．
5
解析 由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1．4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.
由余弦定理，可得AB＝AC＋BC－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.5＝1．4＋2.8－5231sin α2×1．4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝
1616cos α＝
231
. 5
6．(2024·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为( A )
2
2
2
2
2
2
A．(30＋303) mB．(30＋153) m C．(15＋303) m D．(15＋153) m 解析 设建筑物高度为h，则
－＝60，即(3－1)h＝60，
tan 30°tan 45°
hh所以建筑物的高度为h＝(30＋303)m. 二、填空题
7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82 n mile，此船的航速是 32 n mile/h.
1
解析 设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，
2
BS＝82 n mile，∠BSA＝45°，
1v282
由正弦定理，得＝，∴v＝32 n mile/h.
sin 30°sin 45°
8．某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为16米.
解析 如图，设DN＝x米，则14＝10＋x－2×10×xcos 60°，∴x－10x－96＝0. ∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16. ∴N与D之间的距离为16米.
9．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°.从C点测得∠MCA＝60°，
2
2
2
2
已知山高BC＝100 m，则山高MN＝150 m.
解析 在△ABC中，AC＝1002，在△MAC中，＝，解得MA＝1003，
sin 60°sin 45°
MAACMN3
在△MNA中，＝sin 60°＝，故MN＝150，即山高MN为150 m.
21003
三、解答题
10．已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
5333??
?参考数据：sin 38°＝，sin 22°＝?
1414??
解析 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC＝AB＋AC－2AB·ACcos 120°，所以BC＝49，
2
2
2
2
BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得
3
5×253AC·sin ∠BACsin ∠ABC＝＝＝，
BC714
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
11．(2024·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1(百米).
(1)求△CDE的面积； (2)求A，B之间的距离.
1
解析 (1)连接DE，在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△ECD＝
2
DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米).
(2)依题意知，在Rt△ACD中，AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝3. 在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°. 由正弦定理，
12112214
CE1
得BC＝·sin ∠CEB＝×sin 45°＝2.
sin ∠CBEsin 30°
因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° 12326＋2
＝×＋×＝. 22224连接AB，在△ABC中，由余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB＝
(3)＋(2)－23×2×所以AB＝2－3＝
2
2
6＋2
＝2－3， 4
6－2
(百米). 2
12．(2024·河北石家庄重点高中摸底)某学校的平面示意图如图中的五边形区域
ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE
2ππ9
为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝ km. 3310
(1)求道路BE的长度；
2024版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标23解三角形应用举例
