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§3.2.3 利用向量解决平行与垂直问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行. 【教学目标】：
（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。 （3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。 【教学重点】：向量法与坐标法. 【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化. 【课前准备】：Powerpoint课件 【教学过程设计】： 教学环节 一、复习引入 二、探究新知 教学活动 1． 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”. 2． 平行与垂直关系的向量表示。 一、用向量处理平行问题 例1:如图已知四边形ABCD、 ABEF为两个正方形, MN分别在其对角线BF上, 且FM?AN.求证：MN//平面EBC设计意图 为学习新知识做准备. 例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。 分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量MN用 向量BE,BC线性表示出来。 E F M B C N A D 精心校对
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证明:在正方形ABCD与ABEF中,BE?AB,FM?AN,FB?AC,?存在实数?,使FM??FB,AN??AC.?MN?MF?FA?AN??BF?EB??AC??(BE?BA?AB?AD)?EB??(BE?AD)?EB??(BE?BC)?BE?(??1)BE??BC.?MN、BE、BC共面. M?平面EBC,?MN//平面EBC 评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使 p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。 例2.在正方形ABCD-A1B1C1D1中, 求证:平面A1BD//平面CB1D1 （图略） 分析：面面平行?线面平行?线线平行。 证明:如图分别以D1A1、D1C1、D1D三边所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,0),B1(1,1,0),C(0,0,1),D(0,0,1)则A1D?(?1,0,1),B1C?(?1,0,1)?A1D//B1C.即直线A1D//B1C，则A1D//平面CB1D1.同理右证：A1B//平面CB1D1.?平面A1BD//平面CB1D1. 评注： 由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。 本题选用了坐标法。 思考： 一般应如何建立空间直角坐标系？ 二、用向量处理垂直问题 例3: 在正方体ABCD?A'B'C'D'中. 联系共线向量来理解。 例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。 E,F分别是CC',BD的中点.求证：A'F?平面BDE.精心校对
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（图略） 分析：线面垂直?线线垂直。 证明:如图 取DA,DC,DD'分别为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2. A(2,0,0),B(2,2,0),A'(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0) A'F?(?1,1,?2), DB?(2,2,0),DE?(0,2,1) A'F?DB?(?1,1,?2)?(2,2,0)?0, A'F?DE?(?1,1,?2)?(0,2,1)?0 ?A'F?DB,A'F?DE,又DBDE?D.?A'F?平面BDE 评注： 本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE， 或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。 例4， 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理） 已知：如图,OB是平面?的斜线，O为斜足，AB??，A为垂足，CD??,CD?OA 求证：CD?OB B 证明： CD?OA?CD?OA?0 D AB??? CD?AB?CD?AB?0 OB?OA?AB ?O A C CD?OB?CD?(OA?AB)?CD?OA?CD?AB?0 例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。 让学生体会坐标法的优势。 用向量法证明三垂线定理。 ?CD?AB 三、练习巩固 分别用向量法和坐标法解决以下问题： 练习： 在三棱柱ABC?A'B'C'中，巩固知识，培养技能. 底面是正三角形，AA'?底面ABC，精心校对 A'C?AB',求证：BC'?AB'
高中数学选修2-1教案 3.2立体几何中的向量方法第3课时
