《直线的方程》复习
重点：(1)直线的斜率与倾斜角；(2)直线方程的几种形式及求法；(3)两直线的位置 关系；(4)点到直线的距离；(5)有关对称问题. 难点：(1)注意斜率与倾斜角的区别：
(2) 直线方程的五种形式之间要熟练转化，在使用直线方程时，要注意方程表示直线的 “局限
性”.
(3) 判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率 的情形. (4) 运用公式d=卜求平行直线间的距离时，一定要把兀,y项的系数化成相等. 3 + B1 2 3
1 要深刻理解每种直线方程的适用范围；
2 直线在两坐标轴上截距相等的条件：(1) a = b = O : (2) a = b^O . 3 在解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式；
4?确定直线的方程通常有两种途径：一是用方程的五种形式，主要利用待定系数法；二是
用轨迹的定义，从直线的几何性质出发，建立方程。
5. 点到几种特殊直线的距离：不必套公式而直接求出, 6. 直线系方程及用法：几种常用的直线系方程如下:
(1) 共点直线系方程：过两直线厶：A“+B|y + C] =0,/2: A2x+B2y + C2 =0交点的直线
系方程为 y4jx + B|y + C| + 2(4,兀 +
+ G) = 0 ( A民一A-)B| H 0 ,它不能表示直线/。
(2) 过定点(兀0，%)的直线系方程为y-yQ = k(x-xQ) (k为参数)及x = x0o
(3) 平行直线系方程：与直线y = kx + b平行的直线系方程为y = kx + m (m为参数且m
(5) 中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具，解析几何中的中 心对称
和轴对称问题最终都归结为关于点的对称问题加以解决. 知识梳理：
1. 直线的斜率与倾斜角：
(1) 求斜率的方法；
(2) 直线倾斜角的定艾，倾斜角的取值范围是[0,龙)。 2. 两条直线平行或垂直的判定:
rb)；与直线Ax + By + C = 0平行的直线系方程是Ax+By + /l = 0 (九是参数，且人#^). (4) 垂直直线系方程：与直线Ax+By + C = 0垂直的直线系方程是Bt— Ay + A = 0 (九
(1) 两条直线平行: (2) 两条直线垂直: 3. 直线的点斜式方程： 6. 直线的截距式方程： 9. 两点间的距离： 注
意：
4. 直线的斜截式方程:
5.直线的两点式方程： 8.线段的中点坐标公式： 11.两平行直线间的距离:
7. 直线的一般式方程: 10. 点到直线的距离：
为参数).
7. 对称问题:
(1) 中心对称：①点关于P(a,b)对称；②直线关于点的对称； (2) 轴对称： ①点关于直线对称；
典型例题：
命题角度直线的倾斜角与斜率
例1.已知两点A (-1, 一5)、B (3, -2),直线I的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求I 的斜率。 命题角度2求满足某些条件的直线与方程 例2.求适合下列条件的直线的方程：
②直线关于直线对称；
(1)在y轴上的截距为一5,倾斜角的正弦是色；
5
(2)经过点P (3, 2),且在两坐标轴上的截距相等;
(3) 经过点A (-1, -3),倾斜角等于直线y = 3x的倾斜角的2倍。
命题角度3：直线方程五种形式的灵活运用
例3.过点M (0, 1)作直线，使它被两直线/, :x-3y + 10 = 0,Z2:2x4-^-8 = 0所截得的
线段恰好被M所平分，求此直线方程。 命题角度4：直线方程中参数的讨论
例4.已知/]:必一by + 4 = 0,/2 ：(d-l)x+y + b = O,求满足下列条件的a、b的值：
(1)人丄匚，且厶过点(一3, -1); (2) 1} || /2,且坐标原点到这两条直线的距离相等。
命题角度5:直线方程的应用
例5.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图1),另外AEFA内部有一 文物保
护区不能占用，经测量AB = 100m, BC=80m, AE = 30m, AF = 20m,应如何设计 才能使草坪面积最大？
图I
命题角度6：距离公式的应用
例6.已知直线I经过点P (3, 1),且被两条平行直线￡ :兀+ y+ 1 = 0,厶：兀+y+ 6 = 0 截得的线段之
长为5,求直线I的方程。 命题角度7：对称问题
例 7.已知直线/:2x-3y + l=0,点 A (-1, -2)o 求：
(1) 点A关于直线/的对称点A'的坐标；
(2) 求直线m:3x-2y-6 = 0关于直线/的对称直线d的方程; (3) 求直线关/于点A (-1, -2)对称的直线/'的方程。
【模拟试题】
/ / 3兀
1、设两直线厶:Vl - cos ay + b = 0J2: sin oGx + Vl + cos ay -a- 0(6r G (%——))，则
2
直线心厶的位置关系是()
A.平行 B.平行或重合 C.垂直
D.相交但不一定垂直
2、如图，直线 Zj : ax - y + h = O.l2:hx^ y-a = 0 的图象应是()
3三条直线/j :x-y = 0,/2 :x+>?-2 = 05/3:5%-^>?-15 = 0构成一个三角形，则k的
、
范
围是()
A. keR
B. 且
D. IcwR.且1
C. “艮且
4
、
已知x+y + d = 0,x+y + /? = 0,已知a、b是关于x的方程x2 +x + c = 0的两个实数
根，且
0“召，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为()
5
、
点(sin&,cos&)到直线xcos&+ysin& + l = 0的距离小于丄，则&的取值范围是()
2
S
7T
5
7T
A. (2￡龙 ---- 兀、2k7U --- )伙 w Z)
12 12
I
TT
B. (k兀 ------ 兀卡兀 ------- )(k w Z)
12 12
\\
7T
6.
C. (2kji ——7T、2k兀——)(ke Z) D?(k兀——兀g——)(ke Z)
3 6 3 6
过点B (3,4)作直线/,使之到到点4(1,1)的距离等于2,贝U/的方程为
《直线》单元复习小结.doc
