第三章 功和能
3-1 汽车在平直路面上行驶，若车与地面间的摩擦力恒定，而空气阻力与速度的平方成正比．设对于一辆质量为1500kg的汽车总的阻力F?300?1.8v2（其中F以N为单位，v以m/s为单位），求当车速为60 km/h，加速度为1.0m/s2时，汽车引擎所损耗的瞬时功率．
分析 作用力的瞬时功率等于该力与物体获得的速度的乘积．
解 当汽车的加速度为a时，引擎牵引力为F1，应用牛顿第二定律，运动方程为
F1?F?ma
则 F1?ma?F?ma?300?1.8v2
根据瞬时功率的定义，汽车引擎所损耗的瞬时功率为
P?F1v?(ma?300?1.8v2)v 60?1000260?10004 ?(1500?1.0?300?1.8?()]? W?3.83?10 W360036003-2 如习题1-7所述，若海岸高h = 10 m，而猛烈的大风使船受到与绳的牵引方向相反的恒定的作用力F = 5000 N，如图3-2所示．当岸上的水手将缆绳由50 m 收到30 m后，求缆绳中张力的改变量，以及在此过程中水手所作的功．
分析 水手拉缆绳的过程中，是通过缆绳
将力作用在船上实现船体运动作的功．由于 F 缆绳中的张力是变力，直接计算它的功比较
h
图3-2
困难．根据动能定理，合外力的功等于物体 动能的增量，船在此过程中开始前和结束后
都保持静止，船只在水平方向发生位移，水平方向只受缆绳张力水平分量和恒定阻力F作用，则水手通过缆绳张力所作的功的量值应等于恒力F所作的负功．
解 缆绳长度由l1=50 m 收到l2=30 m的过程中，位移为s，水手作的功为
2W?Fs?F(l12?h2?l2?h2) ?5000?(50?10?30?10 J?1.035?10 J
22225
设此过程中开始前缆绳张力为FT1、结束后为FT2，它们的水平方向分量都应
与恒力F等大而反向，因此有
FT1l12?h2l1?F FT22l2?h2l2?F
则
??l2l1??FT2?FT1?F?22??l2?h2l?h21???3050 ?5000????22502?102?30?10
?? N?200 N??3-3 质点沿x轴运动，由x1 = 0处移动到x2 = 4 m的过程中，受到力
F?F0(x其中x0 = 2 m，F0 = 8 ?1)的作用，
x0 F
0 x0 x2 x
图3-3
N，作出F－x曲线，求在此期间力F对质点 所作的功．
分析 当质点沿x轴作直线运动时，如果
外力是质点位置坐标x的函数F?F(x)，质 点从位置x1运动到x2的过程中，根据功的定 义，该力所作的功为W??F(x)dx，即为Fx1x2－x图像中x1到x2区间曲线F(x)与x轴线包围面积的代数和．
解 根据题意，F－x曲线如图3-3所示．按照功的定义，有
W??F(x)dx??x12x2x22x2xF0(?1)dx?F0(?x2)x02x0x1 ?8?(4?4) J?02?2
由图3-3可见，x1到x2区间曲线F(x)与x轴线包围面积的代数和为零，与
上面的计算结果一致．
3-4 在x轴线上运动的物体速度为v = 4 t 2 + 6（其中v以m/s为单位，t以s为单位），作用力F?t?3（其中F以N为单位，t以s为单位）沿x轴正向．试求在t1 = 1 s和t2 = 5 s期间，力F对物体所作的功．
分析 当质点沿x轴作直线运动时，如果外力是时间t的函数F?F(t)，根据功的定义W??F(x)dx，无法直接积分计算，通常可利用微分关系式
x1x2dx?dxdt?vdt，将积分变量转换为时间t进行计算．积分变量代换后，积分的dt上下限也要作相应的代换．
解 根据功的定义
W??F(t)dx??F(t)vdt??(t?3)(4t2?6)dtx1t1t1x2t2t2 ??(4t?12t?6t?18)dt??t?4t?3t?18t??92 Jt232432t1t2t1
3-5 在光滑的水平桌面上固定有如图3-5(a)所示的半圆形屏障，质量为m的滑块以初速v0沿屏障一端的切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为?，（1）证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功为
W?1mv0(e?2???1)；（2）说明上述结果为什么与圆弧半径无关． 2
《物理学基本教程》课后答案_第三章__功和能[1]
