∴BG?AD?3
∴GC?10?3?7……………4分
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN?t，CM?10?2t． ∵DG∥MN
∴∠NMC?∠DGC 又∠C?∠C
∴△MNC∽△GDC
CNCM……………5分 ?CDCGt10?2t即? 5750解得，t?……………6分
17∴
（3）分三种情况讨论：
①当NC?MC时，如图③，即t?10?2t ∴t?A D
N
B
G （图②）
M
C
10……………7分 3D N A A D
N
B B C
M
（图④） （图③）
②当MN?NC时，如图④，过N作NE?MC于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得EC?M H E
C
11MC??10?2t??5?t 22EC5?t在Rt△CEN中，cosc? ?NCtCH3又在Rt△DHC中，cosc??
CD55?t3∴?
t525解得t? ······················································································· 8分
8解法二：
∵∠C?∠C，?DHC??NEC?90? ∴△NEC∽△DHC
NCECt5?t?即? DCHC 5325∴t?……………8分
8∴
41
③当MN?MC时，如图⑤，过M作MF?CN于F点.FC?解法一：（方法同②中解法一）
11NC?t 22A
D
N 1t60FC32解得t? cosC???17MC10?2t5
解法二：
∵∠C?∠C，?MFC??DHC?90? ∴△MFC∽△DHC
B
H M
F C
1t（图⑤） FCMC6010?2t2∴即∴t? ??HCDC 1735
256010综上所述，当t?、t?或t?时，△MNC为等腰三角形 ··············· 9分
81738（09江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若
改变，请说明理由；
A E B
图1 A E B
图4（备用）
D F C
B
图5（备用）
D F C
B
M
图2
D F C
A E P N D F C B
A E P D N
F
C
M 图3
（第25题） A
E
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由. 解（1）如图1，过点E作EG?BC于点G． ····················· 1分
∵E为AB的中点，
1AB?2． 2在Rt△EBG中，∠B?60?，∴∠BEG?30?．……………2分
1，EG?22?12?3．∴BG?BE?1
2∴BE? 42
即点E到BC的距离为3．……………3分
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变． ∵PM?EF，EG?EF，∴PM∥EG． ∵EF∥BC，∴EP?GM，PM?EG?3． 同理MN?AB?4．……………4分
如图2，过点P作PH?MN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC?∠B?60?，∠PMH?30?．
E B
A D F C
图1
G A
N D F
H
13．∴PH?PM?
22∴MH?PMcos30??．
32E B
2P 35则NH?MN?MH?4??．
222?5??3?22在Rt△PNH中，PN?NH?PH????? ?7．????2??2?G M
图2
C
∴△PMN的周长=PM?PN?MN?3?7?4． ······································ 6分 ②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形． 当PM?PN时，如图3，作PR?MN于R，则MR?NR．
3 ．2∴MN?2MR?3 ··················································································· 7分 ．∵△MNC是等边三角形，∴MC?MN?3 ．此时，x?EP?GM?BC?BG?MC?6?1?3?2． ··································· 8分
类似①，MR?A E B
P R
G
M
图3
C
B
G
图4
M
D N F
A E P D F N C
B
A E D F（P） N C
当
G
图5
M
MP?MN时，如图4，这时MC?MN?MP?3．此时，x?EP?GM?6?1?3?5?3．
当NP?NM时，如图5，∠NPM?∠PMN?30?．
则∠PMN?120?，又∠MNC?60?， ∴∠PNM?∠MNC?180?．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形． ∴MC?PMtan30??1 ． 43
此时，x?EP?GM?6?1?1?4．
综上所述，当x?2或4或5?3时，△PMN为等腰三角形． ····················10分
9（09兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由． 解：（1）Q（1，0）……………1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度．……………2分 （2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF?BE?4． ∴AF?10?4?6．
在Rt△AFB中，AB?82?62?10……………3分 过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． ∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH． ∴BH?AF?6,CH?BF?8． ∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12．
∴所求C点的坐标为（14，12）． ……………4分 （3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF．
APAMMPtAMMP?? ∴． ?． ??ABAFBF1068yD??CAMFONQPHGx3434 ∴AM?t，PM?t． ∴PN?OM?10?t,ON?PM?t．
5555BE设△OPQ的面积为S（平方单位）
13473∴S??(10?t)(1?t)?5?t?t2（0≤t≤10） ……………5分
251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
473<0 ∴当t??时， △OPQ的面积最大． ························· 6分 ?36102?(?)104710 ∵a?? 此时P的坐标为（
9453，） ． ····································································· 7分 15105295（4） 当 t?或t?时， OP与PQ相等．················································· 9分
31310（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中
44
点．?AEF?90，且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
D A
解：（1）正确． （1分）
F 证明：在AB上取一点M，使AM?EC，连接ME． （2分）
?BM?BE．??BME?45°，??AME?135°．
B E C G CF是外角平分线，
图1 ??DCF?45°，
??ECF?135°． ??AME??ECF．
D A
?AEB??BAE?90°，?AEB??CEF?90°， D A
F ??BAE??CEF． M F
?△AME≌△BCF（ASA）．……………（5分）
B E C G ?AE?EF．……………（6分） B E C G
（2）正确．……………（7分） 图2 证明：在BA的延长线上取一点N．
使AN?CE，连接NE．……………（8分） N F D A D ?BN?BE． A
F ??N??PCE?45°．
四边形ABCD是正方形， ?AD∥BE． B B C E G C E G ??DAE??BEA． 图3 ??NAE??CEF． ?△ANE≌△ECF（ASA）．……………（10分） ?AE?EF．……………（11分）
11（09天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中?AOB?90°，OA?2，OB?4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点
y D．
B （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，设OB??x，OC?y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
O （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，且使B?D∥OB，求此时点C的坐标． 解（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合， 则△ACD≌△BCD.
设点C的坐标为?0，m??m?0?. 则BC?OB?OC?4?m.
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A x y B O A x
初中数学动点问题专题讲解 - 图文
