········································································································· 1分 S?t2·
当P在线段BA上运动(或3?t≤8)时,OQ?t,AP?6?10?2t?16?2t, 如图,作PD?OA于点D,由
PDAP48?6t,得PD?,······························ 1分 ?BOAB51324····································································· 1分 ?S?OQ?PD??t2?t ·
255(自变量取值范围写对给1分,否则不给分.)
(3)P?,? ···························································································· 1分
?824??55???824??1224??1224?I1?,?,M2??,?,M3?,?? ···················································· 3分
555555??????3(09深圳)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P. (1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形? 解:(1)⊙P与x轴相切.
∵直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),
与y轴交于B(0,-8), ∴OA=4,OB=8. 由题意,OP=-k, ∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2, ∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径, ∴⊙P与x轴相切.
(2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD
当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
13∵△PCD为正三角形,∴DE=CD=,
22PD=3,
33. 2∵∠AOB=∠PEB=90°, ∠ABO=∠PBE, ∴△AOB∽△PEB,
∴PE=∴
33AOPE4?,即=2, ABPB45PB315, 2315, 2∴PB?∴PO?BO?PB?8? 36
∴P(0,∴k?315?8), 2315?8. 2315-8), 2当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,-∴k=-315-8, 2315315-8或k=--8时,以⊙P与直线l的两个22交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
4(09哈尔滨) 如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式; (2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值. 解:
∴当k=
37
5(09河北)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;
E 38
Q D A P
C B 图16
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由; (4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值. ..解:(1)1,;
(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴AP?3?t. 由△AQF∽△ABC,BC?52?32?4, 得
QFt4?.∴QF?t. 455Q A D P
C B B 85E 14∴S?(3?t)?t,
2526即S??t2?t.
55
图4 (3)能.
①当DE∥QB时,如图4.
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形. 此时∠AQP=90°.
AQAP由△APQ ∽△ABC,得, ?ACABt3?t9即?. 解得t?. 358Q D A P
E C 图5
B ②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形. 此时∠APQ =90°.
AQAP由△AQP ∽△ABC,得 , ?ABACt3?t15即?. 解得t?. 538
545(4)t?或t?.
214A P Q G D C(E) B G 图6 ①点P由C向A运动,DE经过点C.
连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6.
34PC?t,QC2?QG2?CG2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2.
55Q D 由PC2?QC2,得t2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2,解得t?②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7. 34(6?t)2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2,t?45】
551435455. 2A P C(E) 图7 6(09河南))如图,在Rt△ABC中,?ACB?90°,?B?60°,BC?2.点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为?. 39
(1)①当?? 度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为 ; ②当?? 度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为 ; (2)当??90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.
解(1)①30,1;②60,1.5; ……………………4分 (2)当∠α=90时,四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=90,∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形.……………6分 在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠B=60,BC=2,
∴∠A=30.
0
0
0
0
0
E O A l C ? D C B ∴AB=4,AC=23. ∴AO=
O A (备用图)
B 1AC=3 . ……………………8分 20
在Rt△AOD中,∠A=30,∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形,
∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分
7(09济南)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?3,DC?5,AB?42,∠B?45?.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.
A D (1)求BC的长.
(2)当MN∥AB时,求t的值.
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形. N 解:(1)如图①,过A、D分别作AK?BC于K,DH?BC于H,
B C M 则四边形ADHK是矩形
∴KH?AD?3 ……………………1分 .在Rt△ABK中,AK?ABsin45??42.2?4 2BK?ABcos45??422?4 ·························································· 2分 2在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC?52?42?3
∴BC?BK?KH?HC?4?3?3?10……………3分
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN∥AB ∴MN∥DG
A
40
D
B
K
H
C