1.求A、B两点的坐标；
2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式； 3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？ 1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标. 解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，
∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=.
∴A(2, )，B（6, ）.
2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一. 直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：
①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①). ②2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②). ③4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).
略解：①∵MN⊥OC，∴ON=t. ∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t.
2
②S=ON·MN=t·2=t.
③方法一：设直线l与x轴交于点H.∵MN＝2-(t-4)=6-t,
∴S=MN·OH=(6-t)t=-t+3
2
t.
31
方法二：设直线l与x轴交于点H.∵S=S△OMH-S△ONH，∴S=t·2-t·(t-4)=
- t+3
2
t.
方法三：设直线l与x轴交于点H.∵S=,
=4×2=8,=·2·(t-2)= t-2,
=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t,
2
∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t)=-
2
t+3
2
t.
3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.
略解：由2知，当0≤t≤2时，=×2=2
2
；
当2＜t≤4时，=4；
当4＜t≤6时，配方得S=-(t-3)+
2
，
∴当t=3时，函数S＝-t+3
2
t的最大值是.
但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数S＝-t+3
2
t的最大值不是.
32
而当t＞3时，函数S＝-上所述，当t=4秒时，
=4
t+3.
2
t随t的增大而减小，∴当4＜t≤6时，S＜4. 综
练习1 （2006年南安市）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动． ⑴求P点从A点运动到D点所需的时间； ⑵设P点运动时间为t（秒）. 当t＝5时，求出点P的坐标；
若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）． 解:（1）P点从A点运动到D点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒）. （2）当t＝5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10,AB+BP=5，∴BP=2. 过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3,AE=BP=2. ∴OE=OA+AE=10+2=12.∴点P的坐标为（12，3）． 分三种情况：
．当0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=t，∴s=×2t×t= t.
2
．当3＜t≤8时，点P在BC上运动，此时OA=2t，∴s=×2t×3=3 t.
．当8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP= t，
∴DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t.∴s=×2t×(11- t)=- t+11 t.
2
2
综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0＜t≤3时，s= t；当3＜t≤8
2
时，s=3 t；当8＜t＜11时，s=- t+11 t .
33
练习2 如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．
（1）当CD=1时，求点E的坐标；
（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1) 正方形OABC中，因为ED⊥OD，即∠ODE =90°，所以∠COD=90°-∠CDO，而 ∠EDB =90°-∠CDO，所以∠COD =∠EDB.又因为∠OCD=∠DBE=90°，所以△CDO∽△BED.
所以，即，BE=，则.因此点E的坐标为（4，）．
(2) 存在S的最大值．
由于△CDO∽△BED，所以，即，BE=t－t.
2
×4×(4＋t－t)
2
．
故当t=2时，S有最大值10．
1、（09包头）如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
解：（1）①∵t?1秒， ∴BP?CQ?3?1?3厘米，
∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米．
又∵PC?BC?BP，BC?8厘米， ∴PC?8?3?5厘米，
34
A D Q P C B
∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，
∴△BPD≌△CQP． ············································································· （4分） ②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，
又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5， ∴点P，点Q运动的时间t?∴vQ?BP4?秒， 33CQ515································································· （7分） ??厘米/秒． ·
4t43（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
1580x?3x?2?10，解得x?秒． 4380∴点P共运动了?3?80厘米．
3∵80?2?28?24，
由题意，得
∴点P、点Q在AB边上相遇，
80秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． ········································· （12分） 332、（09齐齐哈尔）直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时
4∴经过
到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
y B 48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶5点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
（3）当S?解（1）A（8，0）B（0，6） ················ 1分 （2）OA?8，OB?6 ?AB?10
P x 8点Q由O到A的时间是?8（秒）
16?10?点P的速度是?2（单位/秒） ·· 1分
8当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ?t，OP?2t
35
O Q A
初中数学动点问题专题讲解 - 图文
