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初中数学动点问题专题讲解 - 图文

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因为BE=BQ·cos600=

1×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 2所以EP=QR,又EP∥QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=3t,

由△APR∽△PRQ,得到

APPR6t3t?,即,解得t=, ?PRRQ53t6?2t所以当t=

6时, △APR∽△PRQ. 5点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.

?A?90,AB?6,AC?8,例2(2008浙江温州)如图,在Rt△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ?BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动.设BQ?x,QR?y.(1)求点D到BC的距离DH的长;

(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?若存在,请求出所有 满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.

分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得

y关于x的函数关系式;由腰相等列方程可得x的值;注意需分类讨论.

解:(1)

A D P B H Q R E C ?A?Rt?,AB?6,AC?8,?BC?10.

1点D为AB中点,?BD?AB?3.

2?DHB??A?90,?B??B.?△BHD∽△BAC,? DHBD, ?ACBC∴DH?(2)

BD312?AC??8? BC105QR∥AB,??QRC??A?90.?C??C,?△RQC∽△ABC,

?RQQCy10?x3,??,即y关于x的函数关系式为:y??x?6. ?ABBC6105A R E C

(3)存在.按腰相等分三种情况:

①当PQ?PR时,过点P作PM?QR于M,则QM?RM.

?1??2?90,?C??2?90,??1??C. QM484?, ?cos?1?cosC??,?QP5105D P B 1 M 2 H Q

1?3???x?6?425??,?x?18. ??12555②当PQ?RQ时,?A D B H

P E Q

312x?6?, 55R C ?x?6.

26

③当PR?QR时,则R为PQ中垂线上的点, 于是点R为EC的中点,

11?CR?CE?AC?2.

24QRBA, tanC??CRCA3?x?6156?5?,?x?.

2281815综上所述,当x为或6或时,△PQR为等腰三角形.

52

点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使△PQR为等腰三角形的

x的值,可假设△PQR为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,

故还须分类讨论.

五、以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,

只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题方法巧妙,耐人寻味。

例1. 在Rt?ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合),Q是BC边上的动点(与点B、C不重合),当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围;若不可能,请说明理由。(03年广州市中考)

分析:不论P、Q如何运动,∠PCQ都小于∠ACB即小于90°,又因为PQ与AC不平行,所以∠PQC不等于90°,所以只有∠CPQ为直角,△CPQ才可能是直角三角形,而要判断△CPQ是否为直角三角形,只需构造以CQ为直径的圆,根据直径所对的圆周角为直角,若AB边上的动点P在圆上,∠CPQ就为直角,否则∠CPQ就不可能为直角。 以CQ为直径做半圆D。

①当半圆D与AB相切时,设切点为M,连结DM,则 DM⊥AB,且AC=AM=5

所以 MB?AB?AM?13?5?8 设CD?x,则DM?x,DB?12?x 在Rt?DMB中,DB?DM?MB,即 ?12?x??x2?82

22221020,所以CQ?2x? 3320 即当CQ?且点P运动到切点M的位置时,△CPQ为直角三角形。

320?CQ?12时,半圆D与直线AB有两个交点,当点P运动到这两个交点的位置时,△CPQ ②当3 解得:x?为直角三角形。 ③当0?CQ?20时,半圆D与直线AB相离,即点P在半圆D之外,0<∠CPQ<90°,3 27

此时,△CPQ不可能为直角三角形。 所以,当

20?CQ?12时,△CPQ可能为直角三角形。 3

例2. 如图2,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD+BC<DC,若腰DC上有动点P,使AP⊥BP,则这样的点有多少个?

分析:由条件AP⊥BP,想到以AB为直径作圆,若CD与圆相交,根据直径所对的圆周角是90°,两个交点即为点P;若CD与圆相切,切点即是点P;若CD与圆相离,则DC上不存在动点P,使AP⊥BP。

解:如图3,以AB为直径做⊙O,设⊙O与CD切于点E

因为∠B=∠A=90°

所以AD、BC为⊙O的切线 即AD=DE,BC=CE 所以AD+BC=CD

而条件中AD+BC<DC,我们把CD向左平移,如图4,CD的长度不变,AD与BC的长度缩短,此时AD+BC<DC,点O到CD的距离OE 小于⊙O的半径OE,CD与⊙O相交,∠AP1B和∠AP2B是直径AB所对的圆周角,都为90°,所以交点P1、P2即为所求。因此,腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。

例3. 如图5,△ABC的外部有一动点P(在直线BC上方),分别连结PB、PC,试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。(02年广州市中考)

分析:∠BPC与∠BAC之间没有联系,要确定∠BPC与∠BAC的大小关系,必须找恰当的载体,作为它们之间的桥梁,这道桥梁就是圆,通过构造△ABC的外接圆,问题就会迎刃而解。

(1)当点P在△ABC外接圆外时,

如图5,连结BD,根据外角大于任何一个与它不相邻的内角,∠BPC<∠BDC 又因为∠BDC=∠BAC, 所以∠BPC<∠BAC;

(2)当点P在△ABC外接圆上时,如图6,根据同弧所对的圆周角相等, ∠BPC=∠BAC;

(3)当点P在△ABC外接圆内时,如图7,延长BP交△ABC外接圆于点D,连结CD,则∠BPC>∠BDC,

又∠BDC=∠BAC,故∠BPC>∠BAC。 综上,知当点P在△ABC外接圆外时, ∠BPC<∠BAC;

当点P在△ABC外接圆上时, ∠BPC=∠BAC;

当点P在△ABC外接圆内时,

∠BPC>∠BAC。

专题七、2010中考数学热点专题突破训练――动点问题 28

动点试题是近几年中考命题的热点,与一次函数、二次函数等知识综合,构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行分析.

例1 (2006年福建晋州)如图,在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD.一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD. 1.当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积; 2.当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,(当P、Q中的某一点到达终点,则两点都停止运动.)过Q作直线QN,使QN∥PM,设点Q运动的时间为t秒

2

(0≤t≤8),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S(cm). (1)求S关于t的函数关系式; (2)求S的最大值.

1.分析:此题为点动题,因此,1)搞清动点所走的路线及速度,这样就能求出相应线段的长;2)分析在运动中点的几种特殊位置.

由题意知,点P为动点,所走的路线为:A→B→C速度为1cm/s。而t=2s,故可求出AP的值,进而求出△APE的面积.

略解:由AP=2 ,∠A=60°得AE=1,EP= . 因此.

2.分析:两点同时运动,点P在前,点Q在后,速度相等,因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后,又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况: (1)①当P、Q都在AB上运动时,PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6. ②当P在BC上运动,而Q在AB边上运动时,画出相应图形,所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6<t≤8.

⑴略解:①当P、Q同时在AB边上运动时,0≤t≤6.

29

AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数PG=(t+2),

FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=[ ②当6<t≤8时, S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.

t+(t+2)]·1=t+.

易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t.

2

而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得

∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t).

2

∴S=16-t-

2

(10-t)=

2

(6<t≤8

⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值,然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6<t≤8时的最大值. 0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当 6<t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.

略解:由于所以t=6时,S最大=;

由于S=(6<t≤8,所以t=8时,S最大=6.

综上所述, 当t=8时,S最大=6.

例2.(2006年锦州市)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).

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初中数学动点问题专题讲解 - 图文

因为BE=BQ·cos600=1×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,2所以EP=QR,又EP∥QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=3t,由△APR∽△PRQ,得到APPR6t3t?,即,解得t=,?PRRQ53t6?2t所以
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