因为BE=BQ·cos600=
1×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 2所以EP=QR,又EP∥QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=3t,
由△APR∽△PRQ,得到
APPR6t3t?,即,解得t=, ?PRRQ53t6?2t所以当t=
6时, △APR∽△PRQ. 5点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
?A?90，AB?6，AC?8，例2(2008浙江温州)如图，在Rt△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得
y关于x的函数关系式;由腰相等列方程可得x的值;注意需分类讨论.
解：（1）
A D P B H Q R E C ?A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．
1点D为AB中点，?BD?AB?3．
2?DHB??A?90，?B??B．?△BHD∽△BAC，? DHBD， ?ACBC∴DH?（2）
BD312?AC??8? BC105QR∥AB，??QRC??A?90．?C??C，?△RQC∽△ABC，
?RQQCy10?x3，??，即y关于x的函数关系式为：y??x?6． ?ABBC6105A R E C
（3）存在.按腰相等分三种情况：
①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．
?1??2?90，?C??2?90，??1??C． QM484?， ?cos?1?cosC??，?QP5105D P B 1 M 2 H Q
1?3???x?6?425??，?x?18． ??12555②当PQ?RQ时，?A D B H
P E Q
312x?6?， 55R C ?x?6．
26
③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，
11?CR?CE?AC?2．
24QRBA， tanC??CRCA3?x?6156?5?，?x?．
2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．
52
点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使△PQR为等腰三角形的
x的值,可假设△PQR为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,
故还须分类讨论.
五、以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，
只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。
例1. 在Rt?ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03年广州市中考）
分析：不论P、Q如何运动，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又因为PQ与AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判断△CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角，否则∠CPQ就不可能为直角。 以CQ为直径做半圆D。
①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则 DM⊥AB，且AC＝AM＝5
所以 MB?AB?AM?13?5?8 设CD?x，则DM?x，DB?12?x 在Rt?DMB中，DB?DM?MB，即 ?12?x??x2?82
22221020，所以CQ?2x? 3320 即当CQ?且点P运动到切点M的位置时，△CPQ为直角三角形。
320?CQ?12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ ②当3 解得：x?为直角三角形。 ③当0?CQ?20时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，3 27
此时，△CPQ不可能为直角三角形。 所以，当
20?CQ?12时，△CPQ可能为直角三角形。 3
例2. 如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？
分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。
解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E
因为∠B＝∠A＝90°
所以AD、BC为⊙O的切线 即AD＝DE，BC＝CE 所以AD＋BC＝CD
而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，点O到CD的距离OE 小于⊙O的半径OE，CD与⊙O相交，∠AP1B和∠AP2B是直径AB所对的圆周角，都为90°，所以交点P1、P2即为所求。因此，腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。
例3. 如图5，△ABC的外部有一动点P（在直线BC上方），分别连结PB、PC，试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。（02年广州市中考）
分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。
（1）当点P在△ABC外接圆外时，
如图5，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC 又因为∠BDC＝∠BAC， 所以∠BPC＜∠BAC；
（2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6，根据同弧所对的圆周角相等， ∠BPC＝∠BAC；
（3）当点P在△ABC外接圆内时，如图7，延长BP交△ABC外接圆于点D，连结CD，则∠BPC＞∠BDC，
又∠BDC＝∠BAC，故∠BPC＞∠BAC。 综上，知当点P在△ABC外接圆外时， ∠BPC＜∠BAC；
当点P在△ABC外接圆上时， ∠BPC＝∠BAC；
当点P在△ABC外接圆内时，
∠BPC＞∠BAC。
专题七、2010中考数学热点专题突破训练――动点问题 28
动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行分析.
例1 （2006年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD. 1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积； 2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒
2
（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm）. （1）求S关于t的函数关系式； （2）求S的最大值.
1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.
由题意知，点P为动点，所走的路线为：A→B→C速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，进而求出△APE的面积.
略解：由AP=2 ，∠A=60°得AE=1，EP= . 因此.
2.分析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况： （1）①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6. ②当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.
⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6.
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AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数PG=(t+2),
FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=[ ②当6＜t≤8时， S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.
t+(t+2)]·1=t+.
易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t.
2
而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得
∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t).
2
∴S=16-t-
2
(10-t)=
2
(6＜t≤8
⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值. 0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当 6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.
略解：由于所以t=6时，S最大＝；
由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6.
综上所述, 当t=8时，S最大=6.
例2．（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
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初中数学动点问题专题讲解 - 图文
