?此二次函数的表达式为 y??x2?2x?3．
（2）假设存在直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
2在y??x?2x?3中，令y?0，则由?x?2x?3?0，解得x1??1，x2?3
2x ?A(?1，，0)B(3，0)．
令x?0，得y?3．?C(0，3)．
设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E． 点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为(?1，0)． A O C D l E B y ?AB?4，OB?OC?3，?OBC?45. ?BC?32?32?32．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC， 已有?B??B，则只需
x?1 BDBC?BOBA， ①
或
BOBC?BDBA.
②
成立．
若是①，则有BD?BOBCBA?3?3292． ?44而?OBC?45，?BE?DE．
?92?2222?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD???4??．
??9解得 BE?DE?（负值舍去）．
493?OE?OB?BE?3??．
44?39??点D的坐标为?，?．
?44?将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?3．
2?满足条件的直线l的函数表达式为y?3x．
21
［或求出直线AC的函数表达式为y?3x?3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y?3x．此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y??x?3．联立y?3x，y??x?3求得点D
的坐标为?，?．］
?39??44?BOBA3?4若是②，则有BD???22．
BC32而?OBC?45，?BE?DE．
?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD?(22)2．
解得
2222BE?DE?2（负值舍去）．
?OE?OB?BE?3?2?1．
?点D的坐标为(1，2)．
将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?2．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y?2x．
?存在直线l:y?3x或y?2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的
三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为?，?或(1，2)．
（3）设过点C(0，，3)E(1，0)的直线y?kx?3(k?0)与该二次函数的图象交于点P． 将点E(1，0)的坐标代入y?kx?3中，求得k??3．
?39??44??此直线的函数表达式为y??3x?3．
?3x?3)，并代入y??x?2x?3，得x2?5x?0． 设点P的坐标为(x，解得x1?5，x2?0（不合题意，舍去）．
x 2?x?5，y??12． ?点P的坐标为(5，?12)．
此时，锐角?PCO??ACO．
又二次函数的对称轴为x?1，
22
C · C? A O E B x?1 P
?点C关于对称轴对称的点C?的坐标为(2，3)． ?当xp?5时，锐角?PCO??ACO；
当xp?5时，锐角?PCO??ACO； 当2?xp?5时，锐角?PCO??ACO．
y P 练习四
解：（1）令y?0，得x2?1?0 解得x??1
令x?0，得y??1
A ∴ A(?1,0) B(1,0) C(0,?1)
（2）∵OA=OB=OC=1 ∴?BAC=?ACO=?BCO=45 ∵AP∥CB， ∴?PAB=45
过点P作PE?x轴于E，则?APE为等腰直角三角形 令OE=a，则PE=a?1 ∴P(a,a?1)
2∵点P在抛物线y?x?1上 ∴a?1?a?1
2o C B 图1 x 解得a1?2，a2??1（不合题意，舍去） ∴PE=3
∴四边形ACBP的面积S=(3)． 假设存在
∵?PAB=?BAC =45 ∴PA?AC
∵MG?x轴于点G， ∴?MGA=?PAC =90 在Rt△AOC中，OA=OC=1 ∴AC=2 在Rt△PAE中，AE=PE=3 ∴AP= 32 设M点的横坐标为m，则M (m,m?1) ①点M在y轴左侧时，则m??1 (ⅰ) 当?AMG ∽?PCA时，有
G A 21111AB?OC+AB?PE=?2?1??2?3?4 2222y M P oC 图2 B xAGMG= PACA 23
2∵AG=?m?1，MG=m2?1即?m?132?m?12 解得m21??1（舍去） m2?3（舍去） (ⅱ) 当?MAG ∽?PCA时有AGCA=MGPA
即 ?m?12?m2?132解得：m??1（舍去） m2??2 ∴M(?2,3)
② 点M在y轴右侧时，则m?1 (ⅰ) 当?AMG ∽?PCA时有
AGPA=MGCA ∵AG=m?1，MG=m2?1
∴ m?132?m2?12 解得m41??1（舍去） m2?3
∴M(4,739)
(ⅱ) 当?MAG∽?PCA时有
AGCA=MGPA 即 m?1m2?2?132 解得：m1??1（舍去） m2?4 ∴M(4,15)
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似 M点的坐标为(?2,3)，(4,739)，(4,15)
练习5、 解：（1）
点A(?3，0)，C(1，0) ?AC?4，BC?tan∠BAC?AC?34?4?3，B点坐标为(1，3)设过点A，B的直线的函数表达式为y?kx?b，
24
y P M A oG B xC 图3
由??0?k?(?3)?b3939 得k?，b??直线AB的函数表达式为y?x? 4444?3?k?by B （2）如图1，过点B作BD?AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∠BAC?∠DAB ?Rt△ABC∽Rt△ADB，
P A O QC图1
D x
4?D点为所求又tan∠ADB?tan∠ABC?，
3?CD?BC?tan∠ADB?3?（3）这样的m存在
4913?13?0? ??OD?OC?CD?，?D?，344?4?在Rt△ABC中，由勾股定理得AB?5如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD y B 则
m?53?13?m254，解得m?
1393?4P A Q O C 图2
D x
如图2，当PQ?AD时，△APQ∽△ADB
则
m?133?43?13?m1254，解得m? 365例1(2008福建福州)如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出
发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 分析:由t＝2求出BP与BQ的长度,从而可得△BPQ的形状; 作QE⊥BP于点E,将PB,QE用t表示,由S?BPQ=
1×BP×QE可得 2
S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE, 再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求.
解:(1)△BPQ是等边三角形, 当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4, 即BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.
(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=3t,
由AP=t,得PB=6-t,所以S?BPQ=
3211×BP×QE=(6-t)×3t=－t+33t；
222(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,
所以△QRC是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.
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初中数学动点问题专题讲解 - 图文
