的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形
△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系？为什么？
yCOPBQAEx练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠CE?55，且tan?EDA?（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
3。 4（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
练习3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数
y C B E O D 练习2图 x轴交于A，B两点y?a2x?bx?(c?a0的图象与)（点A在点B的
左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和
(?3，?12)．
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为．．．
A x y??x2?2x?3）
（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；A(?1，，0)B(3，0),C(0，3)
（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角?PCO与
?ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．
y P x C l A A B y o B x O
16 C x?1 练习4图
练习3图
练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线y?x?1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，?ACB?90，点A，C的坐标分别为A(?3，0)，C(1，0)，tan?BAC?23． 4y B （1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A(?3，0)，C(1，0)，
393)，y?x? B(1，44（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接设AP?DQm?PQ，
，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADBA
O x
C 相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
参考答案
例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为y?a(x?2)2?1 ∵抛物线过原点， ∴0?a(0?2)2?1 ∴a??1. 41412x?x 4抛物线的解析式为y??(x?2)2?1,即y??yAOBx⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥＝OB,
1由0??(x?2)2?1得x1?0,x2?4,
4∴B(4,0),OB＝4. ∴D点的横坐标为6
17
C图1 D
将x＝6代入y??(x?2)2?1,得y＝－3,
∴D(6,－3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),
y当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A
A点,此时D点的坐标为(2,1)
BOE⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
x若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO A'设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP的解析式为y??由?141x 2图2 P11x??x2?x, 24得x1?0,x2?6
.∴P(6,－3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝13≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似. 练习1、解：（1）由已知可得：
?3a?3b?3?53253?75b?0 解之得，a??，b?，c?0． ?a?3342??c?0?因而得，抛物线的解析式为：y??（2）存在．
设Q点的坐标为(m，n)，则n??2253x?x． 332253m?m， 332533?m2?mm?3BQPB3?nm?333??要使△OCP∽△PBQ,，则有，即 ?3CPOC333解之得，m1?23，m2?2．
18
2) 当m1?23时，n?2，即为Q点，所以得Q(23，2533?m2?mm?3BQPB3?nm?333?要使△OCP∽△QBP,，则有，即 ??3OCCP333解之得，m1?33，m2?3，当m?3时，即为P点，
y ?3)． 当m1?33时，n??3，所以得Q(33，故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．
C 3 B E 2)(33，?3)． Q点的坐标为(23，，O （3）在Rt△OCP中，因为tan?COP?1 CP3?．所以?COP?30． OC32 D A x 图1
2)时，?BPQ??COP?30． 当Q点的坐标为(23，所以?OPQ??OCP??B??QAO?90．
因此，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．
又在Rt△OAQ中，因为tan?QOA?QA3?．所以?QOA?30． AO3即有?POQ??QOA??QPB??COP?30． 所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA， 又因为QP⊥OP，QA⊥OA?POQ??AOQ?30， 所以△OQA≌△OQP．
练习2
解：（1）△OCD与△ADE相似。
理由如下：
由折叠知，?CDE??B?90°，
l C y N M G E P O D A x B ??2??3. ∴?1??2?90°，?1??3?90，又∵?COD??DAE?90°，
19
F
∴△OCD∽△ADE。
（2）∵tan?EDA?则AD=4t。
由勾股定理得DE=5t。
AE3?，∴设AE=3t， AD4∴OC?AB?AE?EB?AE?DE?3t?5t?8t。
由（1）△OCD∽△ADE，得
OCCD， ?ADDE∴8tCD， ?4t5t∴CD?10t。
在△DCE中，∵CD?DE?CE，
222∴(10t)2?(5t)2?(55)2，解得t=1。
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y=kx+b，
1??10k?b?3，?k??，解得?∴?2
?b?8，??b?8，1∴y??x?8，则点P的坐标为（16，0）。
2（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12， y=2x－12。
如图2：准确画出两条直线。
练习3 解：（1）
3)和(?3，?12)， 二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，?b??2a?1，?a??1，???由?4a?2b?c?3， 解得?b?2，
?c?3.?9a?3b?2??12.??? 20
初中数学动点问题专题讲解 - 图文
