的值.
?AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。 （即例3的第2、第3问）
A分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设AE=x，则AF=22?x，
EFBC22而三角形AOB的面积与三角形AOE的面积之比=x，而
1?OB?OA?22三角形AOB的面积=，则三角形AOE的面积
Ox22?xx?(22?x)2，因此四边形AEOF的面积=2=2，同理三角形AOF的面积=；即
AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.
当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积相等，而AOC的面积为2，因此AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.
本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.
11x(22?x)??(x?2)2?12 第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, ?AEF的面积=2,又
x的变化范围为0?x?22,由二次函数知识得?AEF的面积的范围为: 0??AEF的面积?1.
本题也可以根据三角形AEF与三角形OEF的面积关系确定?AEF的面积范围:
不难证明?AEF的面积≤?OEF的面积，它们公用边EF，取EF的中点H，显然由于?OEF为等
1EF腰直角三角形，则OH⊥EF，作AG⊥EF，显然AG≤AH=AG（=2），所以?AEF的面积≤?OEF的面积，而它们的和为2，因此0??AEF的面积?1.
本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：
比如，比较线段EF与AO长度大小等（可以通过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论）
DC例8：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB
边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒
Q表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么：
（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； APB（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
分析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，建立等量关系，
?22t?6?t，即t?2时，三角形QAP为等腰三角形；
（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积
1112?6??12?x?(12?2x)?622==36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。
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（3）显然有两种情况：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，
2x122x6??6或6?x12，解之得x?3或x?1.2 由相似关系得6?x建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函
数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。 作为训练同学们可以综合上述方法求解：
练习1：2003年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）
已知?ABC为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB为直角，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上动点（与点B、C不重合）
（1） 如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点，求线段CP的长。
CQBAP当PQ与AC不平行时，?CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。
113AB?2 第1问很易得出P为AB中点，则CP=2第2问：如果?CPQ为直角三角形，由于PQ与AC不平行，则∠Q不可能为直角
又点P不与A重合，则∠PCQ也不可能为直角，只能是∠CPQ为直角，即以CQ为直径的圆与AB有交点，设CQ=2x，CQ的中点D到AB的距离DM不大于CD，
AMCDQBDMDBDM12?x5(12?x)5(12?x)10??DM?DM??CD?xx?ACAB，13，13，133，即5所以由，即1020?x?6?CQ?12x?633而，故，亦即时，?CPQ可能为直角三角形。
当然还有其它方法。同学们可以继续研究。
练习2：（广东省2003年中考试题最后一题）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O
为BC的中点，
（1）写出点O到△ABC的三个顶点 A、B、C距离的大小关系。 （2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。
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该题与例3类似，同学们可以仿 本大类习题的共性：
1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．
2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值．
专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.
1 以双动点为载体，探求函数图象问题
例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN. (1)分别求出梯形中BA，AD的长度； (2)写出图3中M，N两点的坐标；
(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.
评析 本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.
2 以双动点为载体，探求结论开放性问题
例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒. (1)求∠BAO的度数.
(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.
(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由. 解 (1)∠BAO=60°.
(2)点P的运动速度为2个单位/秒.
评析 本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以
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B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题. 3 以双动点为载体，探求存在性问题
例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒. (1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；
(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围； (4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.
评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.
4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为，AE、EB、BA围成的图形面积为这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题： (1)当0 解 (1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO⊥AC于O，则OB=89，因为AE=x，所以，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以-2x)， 当时， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以当x=6时， (2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. ②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50. 当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当x=13时，y的最大值为82. 综上可得，y的最大值为82. 评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用. 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 1y??x2?x4⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为） 14 ⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标； ⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。 OyABxOyABx图1 例1题图 图2 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、．．．．．．．B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形．． 是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 ?53?3)E?0?练习1、已知抛物线y?ax?bx?c经过P(3，，0)． ?2，?及原点O(0，??2（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为y??．．． 2253x?x） 33（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点 15
初中数学动点问题专题讲解 - 图文
