__________________________________________________
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案
第1章 线性规划（复习思考题）
1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？
答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？
答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi?0，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件AX?b，X?0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示：
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
__________________________________________________
5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
maxZ?4x1?x2?2x3
?8x1?3x2?x3?2?s.t. ?6x1?x2?x3?8
?x,x,x?0?123解：标准化 maxZ?4x1?x2?2x3
?2?8x1?3x2?x3?x4??x5?8 s.t. ?6x1?x2?x3?x1,x2,x3,x4,x5?0?列出单纯形表
cj 4 b 2 8 x1 1 x2 2 x3 0 x4 0 ?i CB XB x4 x5 x5 0 0 [8] 6 4 3 1 1 3/8 －5/4 －1/2 3 －2 －5 1 1 2 [1/8] 1/4 3/2 1 0 0 1 0 0 1/8 －3/4 -1/2 1 －1 －2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2/8 8/6 (1/4)/(1/8) (13/2)/(1/4) ?j 4 0 x1 x5 1/4 13/2 1 6 0 ?j 2 0 x3 x5 2 6 8 －2 －12 ?j 故最优解为X*?(0,0,2,0,6)T，即x1?0,x2?0,x3?2，此时最优值为Z(X*)?4． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中a1,a2,c1,c2,d为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以x1代替基变量x5；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
__________________________________________________
表1—15 某极大化问题的单纯形表
cj c1 c2 x2 a1 0 x3 0 x4 0 ?i CB XB x3 b d 2 3 x1 x5 0 0 0 4 －1 a2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 x4 x5 －5 －3 c2 ?j c1 解：（1）d?0,c1?0,c2?0；
（2）d?0,c1?0,c2?0（c1,c2中至少有一个为零）； （3）c1?0,a2?0,d3?； 4a2（4）c2?0,a1?0；
（5）x1为人工变量，且c1为包含M的大于零的数，且c2为包含M的大于零的数，a1?0,d?0．
7．用大M法求解如下线性规划。
maxZ?5x1?3x2?6x3
d3?；或者x2为人工变量，4a2?x1?2x2?x3?18?2x?x?3x?16?23s.t. ?1
x?x?x?1023?1??x1,x2,x3?0解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：
maxZ?5x1?3x2?6x3?0x4?0x5?Mx6
?x1?2x2?x3?x4?18?2x?x?3x?x?16?235s.t. ?1
x?x?x?x?10236?1??xi?0(i?1,2,?,6)列出单纯形表
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
__________________________________________________
cj 5 b 18 16 10 x1 3 x2 6 x3 0 x4 0 x5 －M ?i CB XB x4 x5 x6 0 0 －M 1 2 1 5+M 2 1 1 3+M 5/3 1/3 [2/3] 1 [3] 1 6+M 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 －1 －1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 －1/3 1/3 －1/3 1?2?M 30 0 1 0 0 0 1 0 －5/2 －1/2 3/2 ?3?M 218/1 16/3 10/1 38/5 16 14/2 － 6 14 x6 ?j 0 6 －M x4 x3 38/3 16/3 14/3 1/3 2/3 1/3 x6 ?j 0 6 3 x4 x3 121?M 1?M 331 3 7 －1/2 [1/2] 1/2 1/2 0 0 1 0 0 0 1 0 1/2 1/2 －1/2 －3/2 1 1 －1 －2 x2 ?j 0 5 3 x4 x1 4 6 4 0 1 0 0 －3 －1 2 －1－M x2 ?j 故最优解为X*?(6,4,0,4,0,0)T，即x1?6,x2?4,x3?0，此时最优值为Z(X*)?42． 8．A，B，C三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I，II两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表1—16所示。由于需要量大于可供量，决定城市A的供应量可减少0～30单位，城市B的供应量不变，城市C的供应量不能少于270单位。试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
__________________________________________________
表1—16 单位电力输电费（单位：元）
电站 城市 A 15 21 B 18 25 C 22 16 I II 解：设xij为“第i电站向第j城市分配的电量”（i=1,2; j=1,2,3），建立模型如下：
maxZ?15x11?18x12?22x13?21x21?25x22?16x23
?x11?x12?x13?400?x?x?x?4502223?21?x11?x21?290?x11?x21?320?s.t. ?
x?x?2501222??x13?x23?270?x13?x23?350??xij?0,i?1,2;j?1,2,3?9．某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过15万元；项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？
解：设xi(1)表示第一次投资项目i，设xi(2)表示第二次投资项目i，设xi(3)表示第三次投资项目i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为
(1)(1)maxZ?1.2x1(3)?1.6x3?1.4x4
(1)?x1(1)?x2?30?(1)(1)x1(2)?x3?1.2x1(1)?30?x1(1)?x2?(1)(1)(1)(1)?x1(3)?x4?1.2x1(2)?1.5x2?1.2x1(1)?30?x1(1)?x2?x1(2)?x3?(1)s.t. ? x2?20(1)?x3?15?(1)?x4?10?xi(1),xi(2),xi(3)?0,i?1,2,3,4?(1)(1)?20,x3?0,x1(2)?12,x1(2)?44． 通过LINGO软件计算得：x1(1)?10,x2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
最新《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
