高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项
和教学案含解析理
第二节 等差数列及其前n项和
[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝差中项．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (7)等差数列的前n项和公式与函数的关系
*
*
*
*
a＋b2
，其中A叫做a，b的等
nn－1dna1＋an2
＝
2
. d?d?Sn＝n2＋?a1－?n.
2
?2?
[常用结论]
1．等差数列前n项和的最值
- 1 -
在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．
2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有＝3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列??也是等差数列．
?n??Sn?
anS2n－1
.
bnT2n－1
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N，都有2an＋1＝an＋an＋2.
( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． ( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项( ) A．第19项 C．第21项
B．第20项 D．第22项
*
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故选C.]
3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( ) A．－1 B．0
C．1 D．6
B [a2，a4，a6成等差数列，则a6＝0，故选B.] 4．小于20的所有正奇数的和为________．
100 [小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的10
和S10＝
1＋19
＝100.] 2
5．(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________. －1 [由S2＝S6得a3＋a4＋a5＋a6＝0，即a4＋a5＝0，又a4＝1，则a5＝－1.]
等差数列基本量的运算 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a18＝54，S19＝437，则a2 018的值是( ) A．4 039 B．4 038
C．2 019 D．2 038
A [设等差数列{an}的公差为d，由题意可知
- 1 -
??2a1＋22d＝54，?
?19a1＋171d＝437，?
??a1＝5，
解得?
?d＝2，?
所以a2 018＝5＋2017×2＝4 039，故选A.]
2．(2019·武汉模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差
d等于( )
A．－1 B．－2 C [由题意知?
?d＝－3，???a1＝5，
?a1＋a7＝2a1＋6d＝－8，?
??a2＝a1＋d＝2.
C．－3 D．－4
解得?
故选C.]
3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )
A．18 B．20
C．21 D．25
C [用an表示第n天织布的尺数，由题意知， 数列{an}是首项为5，项数为30的等差数列． 30
所以即30
a1＋a30
2
＝390，
5＋a30
＝390，解得a30＝21，故选C.] 2
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________. －72 [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
a12＝a1＋11d＝－8，??
由已知，得?9×8
Sd＝－9，9＝9a1＋?2?
??a1＝3，
解得?
?d＝－1.?
16×15∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]
2[规律方法] 等差数列运算问题的通性通法 1等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程组求解. 2等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三 - 1 -
个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题. 等差数列的判定与证明 311*
【例1】 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N)，数列{bn}满足bn＝5an－1an－1(n∈N)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． [解] (1)证明：因为an＝2－所以bn＋1－bn＝＝
1
1?1
*
an－1
(n≥2，n∈N)，bn＝
*
1*
(n∈N)， an－1
11
－ an＋1－1an－1
1－ ?2－－1an－1???
＝
an?
1
－＝1. an－1an－1
15＝－. a1－12
an又b1＝
5
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
27
(2)由(1)知bn＝n－，
212
则an＝1＋＝1＋. bn2n－72
设f(x)＝1＋，
2x－7
7??7??则f(x)在区间?－∞，?和?，＋∞?上为减函数． 2??2??所以当n＝3时，an取得最小值－1， 当n＝4时，an取得最大值3.
3
[拓展探究] 本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)·an＋n(n＋1)，试求数列{an}
5的通项公式．
[解] 由已知可得
an＋1an＝＋1， n＋1n - 1 -
即
an＋1an3
－＝1，又a1＝， n＋1n5
?an?a13
∴??是以＝为首项，1为公差的等差数列，
15?n?
an32
∴＝＋(n－1)·1＝n－， n55
22
∴an＝n－n.
5
[规律方法] 等差数列的四个判定方法 1定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数. 2等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列. 3通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列. 4前n项和公式法：得出Sn＝An＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列. (2019·贵州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列??是等差数列，并求{an}的通项公式．
?n??an?
2
2[解] (1)由已知，得a2－2a1＝4， 则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得
nan＋1－n＋1anan＋1an＝2，即－＝2，
nn＋1n＋1n所以数列??是首项为＝1，公差d＝2的等差数列．
1?n?则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n－n.
等差数列性质的应用 ?考法1 等差数列项的性质的应用 【例2】 (1)(2019·长沙模拟)数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于( )
A．9 B．10
?an?
a1
ann2
C．11 D．12
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高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教学案含解析理
