第二节 等差数列及其前n项和
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7
的值是( )
A．30 C．28
B．29 D．27
解析：选C.由题意，设等差数列的公差为d，则d＝
a5－a3
5－3
＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以
S7＝
7a1＋a7
2
＝
7×2a4
＝7×4＝28.故选C. 2
2．(2018·唐山统考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于( ) A．18 C．9
11解析：选D.由题意得S11＝
B．12 D．6
a1＋a11
2
＝
11
2a1＋10d＝22，即a1＋5d＝2，所以a3
2
＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.
3．在等差数列{an}中，a1＝－2 017，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 020＝( )
1210A．2 020 C．4 040
B．－2 020 D．－4 040
S12S10
2
解析：选C.设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An＋Bn，则＝An＋B，∴??是等差数
Snn?Sn??n?
列．∵
S12S10
12－＝2，∴??的公差为1，又＝＝－2 017，∴??是以－2 017为首项，11011?n??n?
?Sn?S1a1?Sn?
为公差的等差数列，∴＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故选C.
2 020
4．(2018·山西太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N)在函数y＝
*
S2 020
x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正
确的是( )
A．Sn＜2Tn C．T7＞b7
*
B．b4＝0 D．T5＝T6
2
2
解析：选D.因为点(n，Sn)(n∈N)在函数y＝x－10x的图象上，所以Sn＝n－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝
1
*
－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.
5．(2018·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 C.47升 44
67B．升 6637D．升 33
解析：选B.设该等差数列为{an}，公差为d， 由题意得?
?a1＋a2＋a3＋a4＝3，?
??a7＋a8＋a9＝4，
?4a1＋6d＝3，?
即???3a1＋21d＝4，
13
a＝，??22解得?7
d＝??66.1
13767
∴a5＝＋4×＝.故选B.
226666
6．(2018·山东五校联考)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列； anp3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
n其中的真命题为( ) A．p1，p2 C．p2，p3
B．p3，p4 D．p1，p4
解析：选D.{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以{an}是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，则a1＞2a2，故{nan}不是递增数列，p2不正确；＝d＋
anna1－dan，当a1－d＞0时，{}递减，p3不正确；an＋3nd＝4ndnn＋a1－d,4d＞0，{an＋3nd}是递增数列，p4正确．故p1，p4是正确的，选D.
7．(2018·揭阳质检)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N)，若
*
b3＝－2，b10＝12，则a8等于( )
A．0 C．8
B．3 D．11
解析：选B.∵{bn}为等差数列，设其公差为d， 由b3＝－2，b10＝12，
∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14，∴d＝2，
2
∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6， 7×6
∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d
2＝7×(－6)＋21×2＝0，
又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3， ∴a8－3＝0，∴a8＝3.故选B.
8．(2018·日照二模)若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．
22
解析：因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－
332247247
的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以
33333使ak·ak＋1＜0的k值为23.
答案：23
9．(2018·长春模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．
解析：由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其30
中a1＝5，前30项和为390，于是有21尺布．
答案：21
10．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 解：(1)设{an}的公比为q，由题设可得
??a1??a1?
5＋a30
＝390，解得a30＝21，即该女最后一天织
2
1＋q＝2，1＋q＋q2
＝－6.
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2).
n＋1
a11－qn22n(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)·. 1－q33
n42n由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)·
3
n＋3
－23
n＋2
3
?2
＝2?－＋－1?3
n2·
n＋1
?＝2S， ?n3?
B级 能力提升练
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
11．(2018·潍坊模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N)．若＜－1，则( )
A．Sn的最大值是S8 C．Sn的最大值是S7 解析：选D.由已知条件得＜
B．Sn的最小值是S8 D．Sn的最小值是S7
*
a8a7
SnSn＋1na1＋ann＋1a1＋an＋1
，即＜，所以an＜
nn＋12n2n＋1
a8
an＋1，所以等差数列{an}为递增数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均
a7
小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.
12．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 C．{dn}是等差数列
B．{Sn}是等差数列 D．{dn}是等差数列
22
*
*
解析：选A.作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，
Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|， ∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.
设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，
则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)， 1
∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]
21
＝c[(b－a)n＋(2a－b)]， 2
11
∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}
22是等差数列．
13．(2018·南充模拟)已知数列{an}为等差数列，若
a11
＜－1，且它们的前n项和Sn有a10
4
最大值，则使Sn＞0的n的最大值为________．
解析：∵
a11
＜－1，且Sn有最大值， a10
∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0， 19a1＋a19
∴S19＝＝19·a10＞0，
2
S20＝
20a1＋a20
2
＝10(a10＋a11)＜0，
故使得Sn＞0的n的最大值为19. 答案：19
14．(2018·山东菏泽二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N，满足a1＋a2＝10，
*
S5＝40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，
S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，
??a1＝4，所以?
?d＝2，?
所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.
(2)令cn＝13－an＝11－2n，
??11－2n，n≤5，bn＝|cn|＝|11－2n|＝?
??2n－11，n≥6，
22
设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n＋10n. 当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n＋10n.
当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n－10n＋2(－5＋10×5)＝n－10n＋50.
??－n＋10n，n≤5，
∴Tn＝?2
?n－10n＋50，n≥6.?
2
2
2
2
15．(2018·惠州市二调)在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列． (1)若数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝
11
，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差． anan＋19n＋91
解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，
由a1，a4，a8成等比数列可得a4＝a1·a8，即(a1＋3d)＝a1·(a1＋7d)，解得a1＝9d.
2
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2020高考数学大一轮复习第五章数列第二节等差数列及其前n项和检测（理）新人教A版
